Ricevo da Simonetta la seguente domanda:

Buongiorno,

vorrei un aiuto per risolvere questo esercizio:

Scrivi l’equazione canonica dell’ellisse che nel suo punto di ascissa \(1\) ha per tangente la retta di equazione \(x+6 \sqrt{2}y-9=0\).

Inoltre ho un dubbio: la formula dello sdoppiamento può essere usata solo per trovare l’equazione della tangente dati ellisse e punto di tangenza o anche il contrario?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Simonetta,

rispondo subito con un sì alla domanda finale, e qui ne abbiamo un esempio. Posto che il punto di tangenza \(T\), in quanto appartenente anche alla retta, ha coordinate \[T\left( 1,\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)\] sostituendo nell’equazione generale della retta tangente ad un’ellisse canonica otteniamo:        \[\frac{1}{{{a}^{2}}}x+\frac{2\sqrt{2}}{3{{b}^{2}}}y=1\to x+\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3{{b}^{2}}}y-{{a}^{2}}=0\] per cui, uguagliando i coefficienti dei termini simili, si ricava: \[{{a}^{2}}=9\wedge \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3{{b}^{2}}}=6\sqrt{2}\to {{a}^{2}}=9\wedge {{b}^{2}}=1\]pertanto l’ellisse cercata ha equazione \[\frac{{{x}^{2}}}{9}+{{y}^{2}}=1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Vittoria la seguente domanda:

Caro Professore,

non riesco a risolvere questo problema:

E’ dato il quadrato \(ABCD\) di lato \(a\). Una semiretta di origine \(A\), interna all’angolo \(C\hat{A}D\), incontra la retta \(BC\) in un punto \(E\), la cui proiezione sulla retta \(AD\) è \(F\). Scelto sul lato \(BC\) il punto \(T\) tale che risultino gli angoli \(T\hat{A}C=E\hat{A}F\), considera il punto \(P\) comune alle rette \(AT\) e \(FE\). Determina l’ampiezza dell’angolo \(E\hat{A}F\) in modo che sia verificata la relazione \(PF-(\sqrt{3}-1)AF=(2+\sqrt{3})AD\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Vittoria,

con riferimento alla figura, osserviamo che: \[AF=\frac{EF}{\tan x}=\frac{a}{\tan x}\] \[PF=AF\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)=\frac{a\left( 1+\tan x \right)}{\tan x\left( 1-\tan x \right)}\] per cui l’equazione richiesta, posto che \(0<x<\pi/4\), risulta, dopo le opportune semplificazioni: \[\left( 2+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x-2\tan x+2-\sqrt{3}=0\to {{\left( \tan x-\left( 2-\sqrt{3} \right) \right)}^{2}}=0\to \tan x=2-\sqrt{3}\] cioè \[x=\frac{\pi }{12}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

vorrei sapere il procedimento per calcolare l’area di un triangolo con l’uso dell’integrale definito; il triangolo ha vertici \(A(1,1)\), \(B(7,5)\) e \(C(4,9)\).

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

anche se l’uso dell’integrazione definita per il calcolo dell’area di un triangolo è un po’ come “usare un carroarmato per schiacciare una nocciolina”, si può procedere come per qualunque altra funzione definita a tratti (qui si tratta di segmenti di retta), con un po di accortezza riguardo ai segni da attribuire alle aree. Ricaviamo per prima cosa le equazioni delle rette che contengono i lati: \[AB:y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3},\]\[BC:y=-\frac{4}{3}x+\frac{43}{3},\] \[AC:y=\frac{8}{3}x-\frac{5}{3}\] quindi, tenendo conto dell’orientamento delle aree, si avrà: \[{{S}_{ABC}}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{8}{3}x-\frac{5}{3} \right)dx+}\int\limits_{4}^{7}{\left( -\frac{4}{3}x+\frac{43}{3} \right)dx-}\int\limits_{1}^{7}{\left( \frac{2}{3}x+\frac{1}{3} \right)dx=}\] \[=\frac{8}{3}\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{1}^{4}-\frac{5}{3}\left[ x \right]_{1}^{4}-\frac{4}{3}\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{4}^{7}+\frac{43}{3}\left[ x \right]_{4}^{7}-\frac{2}{3}\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{1}^{7}-\frac{1}{3}\left[ x \right]_{1}^{7}=\]\[=\frac{8}{3}\frac{15}{2}-\frac{5}{3}3-\frac{4}{3}\frac{33}{2}+\frac{43}{3}3-\frac{2}{3}24-\frac{1}{3}6=18\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore, non ho capito questi quesiti:

1) E’ dato un triangolo equilatero \(ABC\) con il lato \(a\). Una retta \(AY\) uscente dal vertice \(A\) che non attraversa il triangolo forma con il lato \(AB\) l’angolo \(x\). Determinare l’ampiezza dell’angolo \(x\) in modo che la superficie generata dal triangolo \(ABC\) quando il triangolo compie una rotazione completa intorno alla retta \(AY\) sia il triplo dell’area del cerchio di raggio \(a\).

2) Un rettangolo di lati \(a\) e \(b\) ruota di un giro completo intorno ad una retta del suo piano che non lo attraversa e che passa per un suo vertice formando un angolo \(\alpha\) con il lato \(b\). Calcolare il volume del solido e la sua superficie totale

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, osserviamo che la simmetria del problema consente di considerare \(0\le x \le \pi/3\), e che il solido generato ha una superficie totale \(S\) data dalla somma delle superfici laterali di due coni, entrambi di apotema \(a\) e raggi di base rispettivamente \(CH=r_1=a\sin(x+\pi/3)\) e \(BK=r_2=a\sin x\), e della superficie laterale di un tronco di cono con lo stesso apotema \(a\) e gli stessi raggi di base \(r_1\) e \(r_2\), per cui: \[S=2\pi {{a}^{2}}\left( \sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)+\sin x \right)=2\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\sin \left( \frac{\pi }{6}+x \right)\] per cui la condizione richiesta equivale all’equazione\[2\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\sin \left( \frac{\pi }{6}+x \right)=3\pi {{a}^{2}}\to \sin \left( \frac{\pi }{6}+x \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\to x=\frac{\pi }{6}\quad .\]

Nel secondo caso, la superficie totale \(S\) è formata dalla somma delle superfici laterali di due coni (apotemi \(a\) e \(b\), raggi di base \(GL=r_1=a\cos \alpha\) e \(EJ=r_2=b\sin \alpha\)) e di due tronchi di cono (apotemi \(b\) e \(a\), raggi di base \(r_1\), \(FM=r_3=d\sin(\alpha+\beta)\) e \(r_3\), \(r_2\)), per cui:   \[S=\pi {{a}^{2}}\cos \alpha +\pi {{b}^{2}}\sin \alpha +\pi b\left( a\cos \alpha +d\sin \left( \alpha +\beta  \right) \right)+\pi a\left( b\sin \alpha +d\sin \left( \alpha +\beta  \right) \right)=\]\[=\pi {{a}^{2}}\cos \alpha +\pi {{b}^{2}}\sin \alpha +\pi ab\left( \cos \alpha +\sin \alpha  \right)+\pi \left( a+b \right)\left( a\cos \alpha +b\sin \alpha  \right)=\]\[=2\pi \left( a+b \right)\left( a\cos \alpha +b\sin \alpha  \right)\]dove si è utilizzata l’uguaglianza \[d\sin \left( \alpha +\beta  \right)=d\left( \frac{b}{d}\sin \alpha +\frac{a}{d}\cos \alpha  \right)=a\cos \alpha +b\sin \alpha \quad .\] Il volume \(V\) si ricava per sottrazione dei coni dalla somma dei tronchi di cono, tenendo conto che \(LD=MJ=h_1=a\sin\alpha\), \(DJ=LM=h_2=b\cos\alpha\):\[V=\frac{\pi }{3}{{h}_{2}}\left( {{r}_{1}}^{2}+{{r}_{1}}{{r}_{3}}+{{r}_{3}}^{2} \right)+\frac{\pi }{3}{{h}_{1}}\left( {{r}_{2}}^{2}+{{r}_{2}}{{r}_{3}}+{{r}_{3}}^{2} \right)-\frac{\pi }{3}{{h}_{1}}{{r}_{1}}^{2}-\frac{\pi }{3}{{h}_{2}}{{r}_{2}}^{2}=\]\[=\frac{\pi }{3}b\cos \alpha \left[ {{a}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha +a\cos \alpha \left( a\cos \alpha +b\sin \alpha  \right)+{{\left( a\cos \alpha +b\sin \alpha  \right)}^{2}}-{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha  \right]+\]\[=\frac{\pi }{3}\left[ 3{{a}^{2}}b{{\cos }^{3}}\alpha +3a{{b}^{2}}{{\sin }^{3}}\alpha +3a{{b}^{2}}\sin \alpha {{\cos }^{2}}\alpha +3{{a}^{2}}b{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha  \right]=\]\[=\pi ab\left[ a{{\cos }^{3}}\alpha +b{{\sin }^{3}}\alpha +b\sin \alpha {{\cos }^{2}}\alpha +a{{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha  \right]=\]\[=\pi ab\left( a\cos \alpha +b\sin \alpha  \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Simona la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

potrebbe spiegarmi questo problema sul calcolo delle probabilità (Matematica.Blu, pag.85\(\alpha\), n.69)?

Si estraggono contemporaneamente \(3\) carte da un mazzo di \(40\) carte. Calcola la probabilità che si presentino: i) tre figure o tre carte di due semi fissati;

ii) tre carte di due semi fissati o tre sette.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Simona,

in entrambi i casi possiamo riferirci ad un insieme universo di eventi equiprobabili a priori di cardinalità pari alle combinazioni di \(40\) oggetti distinti presi \(3\) a \(3\), cioè \({{C}_{40,3}}=\frac{40!}{37!3!}=9880\). Nel primo caso si tratta di valutare la cardinalità del sottoinsieme unione di due sottoinsiemi distinti: il primo ha cardinalità \({{C}_{12,3}}=\frac{12!}{9!3!}=220\) (le possibili scelte non ordinate di \(3\) figure tra le \(12\) presenti), il secondo ha cardinalità \({{C}_{20,3}}=\frac{20!}{17!3!}=1140\) (le possibili terne di carte tra le \(20\) appartenenti a due semi fissati): tenendo conto del fatto che \({{C}_{6,3}}=\frac{6!}{3!3!}=20\) sono le terne che appartengono ad entrambi i sottoinsiemi (tre figure dei due semi prefissati), la probabilità \(p_1\) dell’evento è \[{{p}_{1}}=\frac{220+1140-20}{9880}=\frac{67}{494}\approx 13,56%\quad .\]

Nel secondo caso, all’insieme di cardinalità \({{C}_{20,3}}=\frac{20!}{17!3!}=1140\) va unito l’insieme di cardinalità \({{C}_{4,3}}=\frac{4!}{3!}=4\) (le terne di soli \(7\)), disgiunto dal primo (non si possono avere tre \(7\) di due soli semi), per cui la probabilità \(p_2\) dell’evento è in tal caso: \[{{p}_{2}}=\frac{1140+4}{9880}=\frac{11}{95}\approx 11,58%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Filomena la seguente domanda:

Professore,

ho seri problemi nel discutere questa successione al variare di \(\alpha \in \mathbb{R}\):

                                       \[{{a}_{n}}=n\left( \sqrt[n]{{{n}^{\alpha }}}-\sqrt[n]{n} \right)\quad .\]

Mi può aiutare in qualche modo ? Grazie tante.

Le rispondo così:

Cara Filomena,

posto che per \(\alpha =1\) la successione è costantemente nulla (\({{a}_{n}}=0\quad \forall n\ge 1\)), e quindi banalmente convergente, possiamo mostrare che per ogni altro valore di \(\alpha \) la successione è asintoticamente equivalente a \(\left( \alpha -1 \right)\ln n\) nel limite per \(n\to+\infty\), essendo \(\sqrt[n]{{{n}^{\alpha }}}-\sqrt[n]{n}\) asintoticamente equivalente a \(\left( \alpha -1 \right)\frac{\ln n}{n}\) nello stesso limite, infatti: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{{{n}^{\alpha }}}-\sqrt[n]{n}}{\left( \alpha -1 \right)\left( \ln n/n \right)}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\alpha \frac{\ln n}{n}}}-{{e}^{\frac{\ln n}{n}}}}{\left( \alpha -1 \right)\left( \ln n/n \right)}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{\ln n}{n}}}({{e}^{\left( \alpha -1 \right)\frac{\ln n}{n}}}-1)}{\left( \alpha -1 \right)\left( \ln n/n \right)}\] per cui, posto \(t=\frac{\ln n}{n}\), e osservando che \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln n}{n}=0\), si ha, nell’ipotesi \(\alpha\ne1\):

\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{{{n}^{\alpha }}}-\sqrt[n]{n}}{\left( \alpha -1 \right)\left( \ln n/n \right)}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{t}}\left( {{e}^{\left( \alpha -1 \right)t}}-1 \right)}{\left( \alpha -1 \right)t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{t}}\cdot \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\left( \alpha -1 \right)t}}-1}{\left( \alpha -1 \right)t}=1\cdot 1=1\quad .\]

Pertanto, poiché \[{{a}_{n}}=n\left( \sqrt[n]{{{n}^{\alpha }}}-\sqrt[n]{n} \right)\sim \left( \alpha -1 \right)\ln n\quad per\ n\to +\infty \] si ha che la successione è divergente, a \(+\infty\) se \(\alpha >1\), a \(-\infty\) se \(\alpha < 1\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Francesca la seguente domanda:

Determinare: a) l’equazione della parabola di vertice \(V\), asse di simmetria parallelo all’asse \(y\), passante per \(A(0;4)\) e \(B(1;1)\), con tangente in \(B\) di coefficiente angolare \(m=2\);

b) l’equazione dell’ellisse avente i vertici in \(V\) e in \(A\);

c) l’area delle regioni di piano limitate dall’ellisse e dalla parabola.

Grazie!

Le rispondo così:

Cara Francesca,

per quanto riguarda la parabola del tipo \(y=ax^2+bx+c\), la condizione di appartenenza del punto \(A\) implica \(c=4\), mentre la tangenza in \(B\), facendo uso della formula di sdoppiamento, equivale alle condizioni \(a+b+4=1\) e \(2a+b=2\), cioè \(a=5\) e \(b=-8\), da cui l’equazione \(y=5x^2-8x+4\). Ne consegue che il vertice è il punto \(V(4/5,4/5)\). L’ellisse, che suppongo si sottintenda abbia gli assi paralleli agli assi coordinati, deve quindi avere il centro nel punto \(C(0,4/5)\) e semiassi \(a=4/5\) e \(b=4-4/5=16/5\), cioè ha equazione:\[\frac{25{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 5x-y \right)}^{2}}}{256}=1\quad .\]

La regione compresa tra la parabola e l’ellisse ha un’area \(S\) che può essere calcolata come differenza tra \(1/4\) dell’area \(S_E\) dell’intera ellisse e l’area \(S_T\) del triangolo mistilineo \(ACV\), a sua volta ottenibile come differenza tra l’area del rettangolo \(ACVF\) e \(1/2\) dell’area del segmento parabolico \(ADV\); ricordando che l’area dell’ellisse è pari a \(\pi ab\), e l’area del segmento parabolico è pari ai \(2/3\) di quella del rettangolo in cui è inscritto (formula di Archimede), si ha:   \[S=\frac{1}{4}{{S}_{E}}-\frac{1}{3}{{S}_{ACVF}}=\frac{16}{25}\pi -\frac{64}{75}=\frac{16\left( 3\pi -4 \right)}{75}\approx 1,1573\quad .\]

Ovviamente, la rimanente parte dell’ellisse ha un area \(S’\) pari a \[S'={{S}_{E}}-S=\frac{64}{25}\pi -\frac{16\left( 3\pi -4 \right)}{75}=\frac{16\left( 9\pi +4 \right)}{75}\approx 6,8852\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

non sono riusciuta a risolvere questo esercizio:

data una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e di centro \(O\), detti \(C\) e \(D\) i punti medi dei raggi \(OA\) e \(OB\) rispettivamente, si determini una corda  parallela ad \(AB\) in modo che il trapezio convesso \(CDEF\) abbia la somma dei quadrati dei quattro lati equivalenti al quadrato costruito sul diametro \(AB\).

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alla figura, e ricordando il teorema di Carnot, abbiamo che:\[C{{D}^{2}}={{r}^{2}}\quad C{{E}^{2}}=D{{F}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{r}^{2}}}{4}-{{r}^{2}}\cos x\quad E{{F}^{2}}=4{{r}^{2}}\cos^2 x\] dove l’angolo \(F\hat{O}D=x\) è tale che \(0\le x\le \pi/2\). L’equazione richiesta è quindi la seguente: \[8{{\cos }^{2}}x-4\cos x-1=0\]la cui soluzione accettabile è \[\cos x=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\to x \approx 46,92{}^\circ\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi può dare un aiuto a risolvere questo problema ?

Dopo aver determinato le parabole \({{\gamma }_{1}}\) e \({{\gamma }_{2}}\) appartenenti al fascio \(y=-x^2+ax+c\) passanti per \(A(0;3)\) e tangenti alla retta \(r:\;4x+4y-21=0\), detti \(M\) e \(N\) i rispettivi punti di tangenza (\(M\) appartenente al \(1^\circ\) quadrante), rispondere ai seguenti quesiti:

a) determinare la retta parallela a \(r\) che interseca gli archi \(AM\) e \(AN\) di \({{\gamma }_{1}}\) e \({{\gamma }_{2}}\) nei punti \(R\) e \(T\) in modo che sia massima l’area del triangolo \(MTR\);

b) calcolare l’area del triangolo mistilineo \(AMN\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

posto che il passaggio per \(A(0;3)\) implica \(c=3\), si tratta di imporre che l’equazione risolvente il sistema tra \(y=-x+21/4\) e \(y=-x^2+ax+3\) abbia discriminante nullo, cioè \((1+a)^2-9=0\), da cui \(a=2\) o \(a=-4\), e le relative parabole: \[{{\gamma }_{1}}:\quad -{{x}^{2}}+2x+3\quad \quad {{\gamma }_{2}}:\quad -{{x}^{2}}-4x+3\] che incontrano la retta \(r\) rispettivamente nei punti \(M\left( \frac{3}{2};\frac{15}{4} \right)\), \(N\left( -\frac{3}{2};\frac{27}{4} \right)\).

La retta parallela ad \(r\) di equazione \(y=-x+q\), con \(3\le q\le 21/4\), incontra entrambi gli archi \(AM\) e \(AN\), in punti \(R\) e \(T\) rispettivamente, che individuiamo risolvendo i relativi sistemi retta-parabola, equivalenti alle equazioni risolventi \(x^2-3x+q-3=0\) e \(x^2-3x+q-3=0\), da cui:   \[R\left( \frac{3-\sqrt{21-4q}}{2},\frac{2q-3+\sqrt{21-4q}}{2} \right)\quad T\left( \frac{-3+\sqrt{21-4q}}{2},\frac{2q+3-\sqrt{21-4q}}{2} \right)\]

dove è da notare la scelta dei segni nei radicali che compaiono nelle soluzioni, coerentemente col fatto che si deve avere \(x_R<3/2\) e \(x_T>-3/2\). Possiamo quindi esprimere in funzione di \(q\) la lunghezza del lato \(RT\) del triangolo \(MTR\):\[RT=\sqrt{2{{\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left| 3-\sqrt{21-4q} \right|=\sqrt{2}\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)\]dove si è potuto fare a meno del valore assoluto essendo il suo argomento sicuramente non negativo nelle limitazioni di \(q\) che interessano. L’altezza \(MH=CK\) del triangolo \(MTR\) relativa al lato \(RT\) è data da \((21/4-q)/\sqrt{2}\), per cui l’area \(S(q)\) è così espressa: \[S\left( q \right)=\frac{\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)\left( 21-4q \right)}{8}\quad .\]

Deriviamo e analizziamo zeri e segno della derivata nell’intervallo \(3\le q\le 21/4\): \[S'\left( q \right)=\frac{1}{4}\left( \frac{21-4q}{\sqrt{21-4q}}-2\left( 3-\sqrt{21-4q} \right) \right)=\frac{3}{4}\left( \sqrt{21-4q}-2 \right)\]\[S'\left( q \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{21-4q}=2\to 21-4q=4\to q=\frac{17}{4}\] valore che, come si può verificare dall’analisi dei segni di \(S’(q)\), corrisponde al massimo cercato.

Infine, il calcolo dell’area \(S\) del triangolo mistilineo \(AMN\) equivale alla somma seguente:

\[S=\int\limits_{-3/2}^{0}{\left( -x+\frac{21}{4}+{{x}^{2}}+4x-3 \right)dx+}\int\limits_{0}^{3/2}{\left( -x+\frac{21}{4}+{{x}^{2}}-2x-3 \right)dx}=\]

\[=\left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{9}{4}x \right]_{-3/2}^{3/2}+\left[ \frac{3}{2}{{x}^{2}} \right]_{-3/2}^{0}+\left[ -\frac{3}{2}{{x}^{2}} \right]_{0}^{3/2}=\frac{9}{4}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Nadia la seguente domanda:

Fra le primitive della funzione \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( 1+x \right)\) determina quella \(F(x)\) che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta \(y=1\) e studia la funzione ottenuta determinando, in particolare, le coordinate del suo punto di flesso \(A\). Detto poi \(P\) un punto della \(F(x)\) appartenente al tratto di curva che si trova a destra del punto di flesso, sia \(g(x)\) la funzione che esprime il rapporto fra l’ascissa e l’ordinata di \(P\); determina il punto \(P\) per il quale la funzione \(g\) è massima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Nadia,

la primitiva \(F(x)\) è una tra le infinite funzioni che possiamo esprimere tramite il seguente integrale indefinito, che risolviamo per parti:\[\int{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)dx}={{e}^{x}}\left( 1+x \right)-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}+c\quad .\]

In particolare, poiché \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x{{e}^{x}}+c \right)=c\), la \(F(x)\) cercata è \(F\left( x \right)=x{{e}^{x}}+1\). Questa funzione, definita in tutto \(\mathbb{R}\), è ovunque positiva, essendo \(x{{e}^{x}}>-1\) per ogni \(x\), come si deduce dal fatto che la sua derivata, cioè \({{e}^{x}}\left( 1+x \right)\), si annulla solo in \(x=-1\), dove la funzione presenta un minimo, relativo e assoluto, di valore \(-{{e}^{-1}}>-1\). Il grafico di \(F(x)\) presenta appunto un asintoto orizzontale \(y=1\) nel limite \(x\to -\infty\), mentre \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F\left( x \right)=+\infty\), e inoltre presenta un minimo, relativo e assoluto, per \(x=-1\), come si ricava dalle precedenti considerazioni. Il punto di flesso \(A\) si presenta per \(x=2\), in quanto la derivata seconda \(F”\left( x \right)={{e}^{x}}\left( x+2 \right)\) si annulla in tale punto, e la concavità cambia verso in un suo intorno. Riguardo alla funzione   \[g\left( x \right)=\frac{x}{x{{e}^{x}}+1}\] si osserva che, essendo \(g’\left( x \right)=\frac{1-{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{{\left( x{{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\), la funzione presenta un massimo, relativo e assoluto, in corrispondenza a quel valore \(x=x_0\) tale che \({{e}^{{{x}_{0}}}}=\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}\), valore che si può stimare con uno dei vari metodi di calcolo approssimato, ricavando \({{x}_{0}}\approx 0,7035\): il punto \(P\) cercato è quindi, all’incirca, \(P\left( 0,7035;2,4215 \right)\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuti a capire questi problemi:

1) Sia \(ABC\) un triangolo isoscele sulla base \(BC\) e sia \(P\) un generico punto di \(BC\). Da \(P\) conduci la perpendicolare a \(BC\) e siano \(Q\) ed \(R\) le sue intersezioni con le rette dei lati \(AB\) e \(AC\). Dimostrare che \(PQ+PR\) è congruente al doppio dell’altezza del triangolo.

2) Dimostra che se un trapezio ha le diagonali congruenti è isoscele.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, osserviamo che il triangolo \(AQR\) è isoscele, essendo gli angoli in \(R\) e in \(Q\) congruenti in quanto congruenti il primo all’angolo \(H\hat{A}C\) (alterni interni…), il secondo all’angolo \(H\hat{A}B\cong H\hat{A}C\) (corrispondenti…). Pertanto, l’altezza \(AM\) è anche mediana di \(RQ\); posto \(RP=x\) e \(RM\cong MQ=y\), poiché \(AH\cong PM=x+y\) (\(AMPH\) è un rettangolo), si ha la tesi:\[PQ+PR=x+2y+x=2\left( x+y \right)=2AH\quad .\]

Nel secondo caso, basta osservare che i triangoli \(EJF\) e \(GJI\) sono simili, avendo tutti gli angoli congruenti (due opposti al vertice, i restanti alterni interni tra parallele), pertanto, posto \(a=GJ\), \(b=JF\), \(c=IJ\), \(d=JE\), si ha, per ipotesi, \(a+b=c+d\), e in conseguenza della similitudine suddetta, \(a:b=c:d\), quindi:

                            \[a:b=c:d\Rightarrow a=\frac{bc}{d}\Rightarrow \frac{bc}{d}+b=c+d\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow bc+bd=dc+{{d}^{2}}\Rightarrow \left( c+d \right)\left( b-d \right)=0\Rightarrow b=d\Rightarrow a=c\]

cioè i triangoli \(GJI\) e \(EJF\) sono isosceli; ne consegue che i triangoli \(GEF\) e \(IEF\) sono congruenti (1° criterio: \(EF\) in comune, \(EI\cong GF\), angoli compresi tra essi congruenti), e quindi \(EG\cong IF\), cioè la tesi.

Massimo Bergamini

Ricevo da Giuseppe la seguente domanda:

Caro professore,

non sono riusciuto a risolvere questo esercizio:

Data la semicirconferenza di diametro \(AB= 2r\), sia \(C\) il punto medio dell’arco \(AB\). Considera sull’arco \(BC\) un punto \(P\), traccia la tangente in \(P\) che incontra la retta \(AB\) nel punto \(Q\) e, posto \(P\hat{A}B=x\), determina \(PQ\) e \(QB\) in funzione di \(x\). Risolvi, nei limiti imposti dal problema, l’equazione: \(QB+PQ=(1+\sqrt{3})r\).

Grazie mille.

Gli rispondo così:

Caro Giuseppe,

con riferimento alla figura, osserviamo che l’angolo \(P\hat{O}Q\) del triangolo rettangolo \(POQ\) misura \(2x\), con \(0\le x<\pi/4\). Ne consegue: \[PQ=PO\tan 2x=r\tan 2x\]\[QB=QO-BO=\frac{r}{\cos 2x}-r=r\frac{1-\cos 2x}{\cos 2x}\quad .\]

Pertanto l’equazione da risolvere diventa: \[\frac{1-\cos 2x}{\cos 2x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=1+\sqrt{3}\to \left( 2+\sqrt{3} \right)\cos 2x-\sin 2x=1\quad .\] Posto \(X=\cos 2x\) e \(Y=\sin 2x\), l’equazione equivale al seguente sistema, nella limitazione \(0<X\le 1,0\le Y<1\): \[\left\{ \begin{array}{ll} Y=\left( 2+\sqrt{3} \right)X-1 \\ X^2+Y^2=1 \end{array} \right.\] da cui l’equazione risolvente \[2{{X}^{2}}-X=0\to X=0,Y=-1\vee X=\frac{1}{2},Y=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

la cui sola soluzione accettabile è la seconda, corrispondente a \(2x=\frac{\pi }{3}\), cioè \(x=\frac{\pi }{6}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Chiara la seguente domanda:

Buongiorno professore,

potrebbe aiutarmi a capire questo problema?

Una piramide ha per base il triangolo \(ABC\) rettangolo in \(B\) tale che \(\sin B\hat{A}C=\frac{3}{5}\), e ha per altezza il segmento \(BV\) congruente a \(BC\) e di lunghezza \(6\). Determina un punto \(H\) sullo spigolo \(AB\) in modo che, detto \(D\) il punto di intersezione tra la perpendicolare al piano di base della piramide passante per \(H\) e lo spigolo \(AV\), il volume della piramide di vertice \(H\) e base la sezione della piramide data con il piano parallelo al piano di base passante per \(D\) sia pari ai \(3/64\) del volume di \(ABCV\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Chiara,

con riferimento alla figura, ricaviamo le misure del triangolo \(ABC\):\[AC\sin \alpha =6\to AC=\frac{5}{3}6=10,\quad AB=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\]per cui il volume \(V_1\) ella piramide \(ABCV\) è:

\[{{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot \overline{VB}=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 6=48\quad .\]

Ne consegue che il volume \(V_2\) della piramide \(DEFH\) deve essere \(\frac{9}{4}\). Posto \(x=BH=DE\) e \(y=EF=VE\), si ha, per la similitudine tra i triangoli \(ABV\) e \(DEV\), \(x:y=8:6\), cioè \(y=3x/4\), e di conseguenza \(DH=BE=6-y=21x/4\). Il volume \(V_2\), in termini di \(x\), è quindi il seguente:   \[{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8}{{x}^{2}}\cdot \frac{21}{4}x=\frac{21}{32}{{x}^{3}}\] e pertanto si ha che \(x=HB\) deve essere soluzione della seguente equazione:  \[\frac{21}{32}{{x}^{3}}=\frac{9}{4}\to x=2\sqrt[3]{\frac{3}{7}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

il quesito dice:

Data una retta   \(r\) prendi su di essa un punto \(A\) e da \(A\) traccia due semirette \(s\) e \(t\) fra loro perpendicolari e giacenti nello stesso semipiano rispetto a \(r\). Prendi poi un punto \(B\) su \(s\) e un punto \(C\) su \(t\) in modo che sia \(AB=2AC\). Indicate con \(M\) e \(N\) le proiezioni di \(B\) e \(C\) su \(r\), determina l’ampiezza dell’angolo \(B\hat{A}M\) in modo che sia verificata la relatione: \(area(BCNM)=kAC^2\).

Stabilisci poi quale deve essere l’ampiezza di tale angolo affinché l’area richiesta sia massima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

posto \(AC=a\) e \(AB=2a\), e detto \(x\) l’angolo \(B\hat{A}M\), con \(0\le x\le \pi/2\), osservando i triangoli rettangoli \(BMA\) e \(CNA\) ricaviamo basi e altezza del trapezio rettangolo \(BCNM\): \[BM=2a\sin x,\quad CN=a\cos x,\quad MN=2a\cos x+a\sin x\] da cui l’equazione richiesta: \[\frac{{{a}^{2}}\left( 2\sin x+\cos x \right)\left( 2\cos x+\sin x \right)}{2}=k{{a}^{2}}\to \] \[\to 5\sin x\cos x+2=2k\to \sin 2x=\frac{4\left( k-1 \right)}{5}\] da cui si deduce che, poiché nell’intervallo \(0\le x\le \pi/2\) la funzione \(\sin 2x\) “percorre” metà del suo periodo, andando da \(0\) a \(0\) e assumendo il suo valore massimo, cioè \(1\), in corrispondenza a \(x=\pi/4\), il problema ha due soluzioni accettabili per \(1\le k\le 9/4\), e l’area \(BCNM\) ha il suo massimo in corrispondenza al massimo di  \(\sin 2x\), cioè per \(x=\pi/4\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Carlo la seguente domanda:

Salve professore,

non riesco a risolvere il seguente esercizio (pag.227, n.484, Matematica.blu.2.0):

Siano dati i punti \(A(-2;1)\), \(B(1;-1)\), \(D(2;7)\) e la retta \(r\) di equazione \(2x-y-7=0\).

a) Verifica che il triangolo \(ABD\) è rettangolo in \(A\).

b) Trova un punto \(C\) su \(r\) in modo che il quadrilatero \(ABCD\) sia un trapezio avente \(BC\) e \(AD\) come basi.

c) Calcola l’area del trapezio trovato.

Grazie

Gli rispondo così:

Caro Carlo,

per verificare che \(ABD\) sia rettangolo in \(A\) può essere sufficiente mostrare che i coefficienti angolari dei segmenti \(AB\) e \(AD\) sono antireciproci, e infatti:      \[{{m}_{AB}}\cdot {{m}_{AD}}=\frac{1+1}{-2-1}\cdot \frac{1-7}{-2-2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=-1\quad .\] Affinché \(ABCD\) sia un trapezio di basi \(BC\) e \(AD\), è necessario e sufficiente che \(BC\) sia parallelo ad \(AD\), quindi, posto \(C(k,2k-7)\) un generico punto della retta \(r\), con \(k\) reale qualsiasi, si deve avere   \[{{m}_{BC}}={{m}_{AD}}\to \frac{-1-2k+7}{1-k}=\frac{3}{2}\to k=9\to C\left( 9;11 \right)\quad .\] Infine, l’area \(S\) del trapezio \(ABCD\) è la seguente: \[S=\frac{AB\left( BC+AD \right)}{2}=\frac{\sqrt{13}\left( 4\sqrt{13}+2\sqrt{13} \right)}{2}=39\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Nadia la seguente domanda:

Dopo aver disegnato il grafico della funzione \[y=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\] calcola l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva e dalle rette \(x=0\) e \(y=-4\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Nadia,

la funzione è definita per \(x\ge 0,\;x\ne 1\), negativa e decrescente per \(0\le x <1\), positiva e decrescente per \(x>1\), con un asintoto verticale in \(x=1\). L’intersezione tra il grafico della funzione e la retta \(y=-4\) si ha per \(x=9/16\), per cui l’area \(S\) della regione in questione è data dal seguente integrale:

\[{S}=\int\limits_{0}^{9/16}{\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}+4\right)dx}=\]

\[=\int\limits_{0}^{9/16}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right)dx}+\int\limits_{0}^{9/16}{\frac{1}{x-1}dx}+4\int\limits_{0}^{9/16}{dx}=\]

\[=2\int\limits_{0}^{3/4}{\frac{t^2}{t^2-1}dt}+\left[ \ln|x-1|\right]_{0}^{9/16}+4\left[ x \right]_{0}^{9/16}=\]

\[=\left[ \ln|t-1|/|t+1|\right]_{0}^{3/4}+\ln 7 – 4\ln 2 + \frac{15}{4}=\]\[=-\ln 7+\ln 7 - 4\ln 2 + \frac{15}{4}\approx 0,977\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Alida la seguente domanda:

Caro Professore,

stavo cercando di svolgere il seguente esercizio (scheda “Realtà e modelli”. pag 105 \(\alpha\), n.2, Matematica.Blu 2.0). Le chiederei di darmi un aiuto perché non riesco a risolverlo, La ringrazio.

Rossella deve decidere se iscriversi all’università o se cominciare a lavorare. Sa che tra i giovani che lavorano il 30% è laureato, mentre tra i disoccupati è il 20% a essere laureato. Secondo le statistiche nazionali, inoltre, la probabilità che un giovane trovi lavoro entro un breve periodo è pari all’80%. Quale scelta conviene a Rossella su basi puramente statistiche?

Le rispondo così:

Cara Rossella,

precisiamo che si tratta di confrontare le probabilità di due eventi: \(E_1\)=”avere un lavoro, sapendo che si è laureati”,  \(E_2\)=”avere un lavoro, sapendo che non si è laureati”; in simboli, indicando con \(O\) e \(\bar{O}\) l’evento “avere un lavoro” e la sua negazione, con \(L\) e \(\bar{L}\) l’evento “essere laureato” e la sua negazione:

\[p\left( {{E}_{1}} \right)=p\left( O|L \right)\quad \quad p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( O|\bar{L} \right)\quad .\]

Per il teorema della probabilità composta si ha:

\[p\left( {{E}_{1}} \right)=p\left( O|L \right)=\frac{p\left( O\cap L \right)}{p\left( L \right)}\quad \quad p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( O|\bar{L} \right)=\frac{p\left( O\cap \bar{L} \right)}{p\left( {\bar{L}} \right)}\]

per cui si tratta di calcolare le seguenti probabilità:

“ di avere un lavoro et essere laureati” = \(p\left( O\cap L \right)=p\left( O \right)\cdot p\left( L|O \right)=0,8\cdot 0,3=0,24\)

“ di non avere un lavoro et essere laureati” = \(p\left( \bar{O}\cap L \right)=p\left( {\bar{O}} \right)\cdot p\left( L|\bar{O} \right)=0,2\cdot 0,2=0,04\)

“ di essere laureati” = \(p\left( L \right)=p\left( O\cap L \right)+p\left( \bar{O}\cap L \right)=0,28\)

“ di non essere laureati” = \(1-p\left( L \right)=0,72\)

“ di avere un lavoro et non essere laureati” = \(p\left( O\cap \bar{L} \right)=p\left( O \right)\cdot p\left( \bar{L}|O \right)=0,8\cdot 0,7=0,56\)

e quindi:

\[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{0,24}{0,28}\approx 0,857\quad \quad p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{0,56}{0,72}\approx 0,778\]

da cui si deduce che, iscrivendosi all’università e laureandosi, Rossella avrà maggiori probabilità di trovare un lavoro.

Massimo Bergamini

Ricevo da Simona la seguente domanda:

Caro Professore,

potrebbe spiegarmi questo problema sul calcolo delle probabilità (Matematica.Blu, pag.94\(\alpha\), n.122)? Abbiamo due urne. La prima urna contiene 4 palline rosse e 6 bianche e la seconda urna 3 palline rosse e 2 bianche. Si lancia un dado e, se esce un numero minore di tre, si sceglie la prima urna, altrimenti la seconda. Calcola la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano:

a) due rosse;

b) due bianche;

c) una rossa e una bianca.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Simona,

una rappresentazione ad albero può aiutare a risolvere il problema: su ogni ramo è riportata la probabilità che si verifichi l’evento successivo, dati per accaduti gli eventi antecedenti (probabilità condizionate, tenendo conto che non vi è differenza tra l’estrazione simultanea di due palline e l’estrazione in successione di due palline senza reimmissione della prima estratta); nell’ultima riga sono riportati i prodotti delle probabilità per ogni percorso lungo l’albero, cioè la probabilità che si verifichi l’evento intersezione degli eventi presenti lungo il percorso stesso:

Le probabilità degli eventi \(E_a\)=”due rosse”, \(E_b\)=”due bianche”, \(E_c\)=”una rossa e una bianca” si possono ora ottenere come somme di probabilità (unione di eventi disgiunti):

\[p\left( {{E}_{a}} \right)=\frac{2}{45}+\frac{9}{45}=\frac{11}{45},\quad p\left( {{E}_{b}} \right)=\frac{5}{45}+\frac{3}{45}=\frac{8}{45},\quad p\left( {{E}_{c}} \right)=2\cdot \frac{4}{45}+2\cdot \frac{9}{45}=\frac{26}{45}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Marinella la seguente domanda:

Professore,

ho un quesito che non saprei proprio come risolvere:

Si sceglie un’urna fra tre gettando contemporaneamente due dadi. Se escono due numeri primi si sceglie la prima urna, se escono due numeri uguali (escluso il caso in cui siano entrambi primi) la seconda urna, altrimenti la terza. La prima urna contiene \(6\) palline numerate da \(1\) a \(6\), la seconda \(7\) palline numerate da \(1\) a \(7\), la terza \(8\) palline numerate da \(1\) a \(8\). Si estraggono consecutivamente, senza rimettere la pallina estratta nell’urna, \(4\) palline. Sapendo che sono state estratte due palline con numero pari e due palline con numero dispari, calcola la probabilità che esse provengano da ciascuna delle tre urne.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Marinella,

si tratta di un classico esempio di “probabilità delle cause”, cioè di applicazione del teorema di Bayes relativo ad eventi che possono verificarsi per un insieme di cause indipendenti. Si tratta innanzitutto di determinare la probabilità complessiva che si verifichi l’evento che si da per accaduto, nel nostro caso: \(E\)=”sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari”, sapendo che \(E\) è l’unione di tre eventi disgiunti, cioè: \(E_1\)=”è stata scelta la \(1^\circ\) urna e ne sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari”, \(E_2\)=”è stata scelta la \(2^\circ\) urna e ne sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari”, \(E_3\)=”è stata scelta la \(3^\circ\) urna e ne sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari”. Un diagramma ad albero può aiutare, ricordando che su ogni ramo è riportata la probabilità che si verifichi l’evento successivo, dato per accaduto l’evento antecedente (probabilità condizionate), mentre nell’ultima riga sono riportati i prodotti delle probabilità per ogni percorso lungo l’albero, cioè la probabilità che si verifichi l’evento intersezione degli eventi presenti lungo il percorso stesso:

Per il calcolo delle probabilità relative alla scelta dell’urna, si è proceduto in modo diretto: su \(36\) possibilità, sono \(9\) le coppie di numeri primi, e \(3\) le coppie di numeri uguali non primi. Per il calcolo delle probabilità di estrazione di una doppia coppia pari-dispari da ciascuna delle urne, si può ragionare in termini di combinazioni semplici. Ad esempio, per la prima urna, le possibili quaterne di numeri estratti sono le combinazioni di \(6\) oggetti distinti presi \(4\) a \(4\), cioè \({{C}_{6,4}}=6!/(4!2!)=15\); di queste, quelle formate da \(2\) pari e \(2\) dispari sono \(9=3\cdot 3\), essendo \(3={{C}_{3,2}}=3!/(2!1!)\) i modi di scegliere due numeri pari fra tre (\(2\), \(4\), \(6\)), e pure \(3\) i modi di scegliere due numeri dispari fra tre (\(1\), \(3\), \(5\)). Quindi, la probabilità dell’evento: “sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari, sapendo che è stata scelta la \(1^\circ\) urna” è pari a \(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\). Ragionando in modo analogo per le altre due urne si ricava che l’evento: “sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari, sapendo che è stata scelta la \(2^\circ\) urna” è pari a \(\frac{18}{35}\), mentre la probabilità dell’evento: “sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari, sapendo che è stata scelta la \(3^\circ\) urna” è pari a \(\frac{36}{70}=\frac{18}{35}\). In conclusione, l’evento \(E\)=”sono stati estratti \(2\) numeri pari e \(2\) numeri dispari”, ha probabilità:

\[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)+p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{12}\cdot \frac{18}{35}+\frac{2}{3}\cdot \frac{18}{35}=\frac{3}{20}+\frac{3}{70}+\frac{12}{35}=\frac{15}{28}\]

e pertanto le probabilità degli eventi \(C_1\)=”è stata scelta la \(1^\circ\) urna, sapendo che sono stati estratti \(2\) pari e \(2\) dispari”, \(C_2\)=”…. la \(2^\circ\) urna, …”, \(C_3\)=”…. la \(3^\circ\) urna, …”, si possono ricavare dai rapporti tra i rispettivi addendi della somma che forma \(p(E)\) (l’evento multi-causato che si da per accaduto) e \(p(E)\) stessa (come se lo spazio degli eventi si fosse “ristretto” all’evento \(E\)):

 \[p\left( {{C}_{1}} \right)=\frac{3}{20}:\frac{15}{28}=\frac{7}{25},\quad p\left( {{C}_{2}} \right)=\frac{3}{70}:\frac{15}{28}=\frac{2}{25},\quad p\left( {{C}_{3}} \right)=\frac{12}{35}:\frac{15}{28}=\frac{16}{25}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

può dirmi il risultato di questo integrale indefinito?

                                                              \[\int{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}dx}\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

possiamo procedere utilizzando preliminarmente qualche identità goniometrica:

\[\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{{{\left( 1+\sin x \right)}^{2}}}{1-{{\sin }^{2}}x}={{\left( \frac{1+\sin x}{\cos x} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1-\cos \left( \pi /2+x \right)}{\sin \left( \pi /2+x \right)} \right)}^{2}}={{\tan }^{2}}\left( \frac{\pi +2x}{4} \right)\]per cui, posto \[p=\frac{\pi +2x}{4}\to dx=2dp\] si ha:\[\int{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}dx}=\int{{{\tan }^{2}}\left( \frac{\pi +2x}{4} \right)dx}=2\int{{{\tan }^{2}}pdp}=2\int{\left( 1+{{\tan }^{2}}p \right)dp}-2\int{dp}=\]\[=2\tan p-2p+c=2\tan \left( \frac{\pi +2x}{4} \right)-x+c\] ricordando che \(D\left( \tan p \right)=1+{{\tan }^{2}}p\) e che la costante \(-\frac{\pi }{2}\) viene inglobata nella costante di integrazione \(c\).

Massimo Bergamini