Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
come si imposta questo esercizio?
Determinare la lunghezza dell’arco di ipocicloide
\[x=3\cos \vartheta +2\cos \frac{3}{2}\vartheta ,\quad y=3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta \quad \quad 0\le \vartheta \le \frac{2}{5}\pi \quad .\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
le assegnate equazioni parametriche rappresentano l’ipocicloide generata dal rotolamento di una circonferenza di raggio \(r_1=2\) lungo l’interno di una circonferenza di raggio \(r_2=5\), che risulta essere una curva chiusa continua, a forma stellata con cinque cuspidi, differenziabile in ogni punto ad eccezione delle cuspidi. La periodicità delle equazioni è \(4\pi\), cioè il minimo periodo comune ai periodi \(2\pi\) e \(4\pi/3\) dei due addendi di ciascuna equazione. L’arco \(AB\) in questione, come si può osservare nella rappresentazione grafica, rappresenta la decima parte della lunghezza dell’intera curva, che presenta una completa simmetria pentagonale.  Poiché l’elemento di lunghezza è dato da            \[ds=\sqrt{d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}}d\vartheta\] otteniamo:         \[{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}={{\left( -3\sin \vartheta -3\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)}^{2}}=9{{\sin }^{2}}\vartheta +9{{\sin }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta +18\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta \] \[{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}={{\left( 3\cos \vartheta -3\cos \frac{3}{2}\vartheta  \right)}^{2}}=9{{\cos }^{2}}\vartheta +9{{\cos }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta -18\cos \vartheta \cos \frac{3}{2}\vartheta \] \[{{\left( \frac{dx}{d\vartheta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{dy}{d\vartheta } \right)}^{2}}=18-18\left( \cos \vartheta \cos \frac{3}{2}\vartheta -\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)=18\left( 1-\cos \frac{5}{2}\vartheta  \right)\] per cui la lunghezza \({{l}_{AB}}\) dell’arco \(AB\) in questione è data da:            \[3\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi /5}{\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }}d\vartheta \quad .\]
Utilizzando successive sostituzioni di variabile (\(t=\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }\to 4tdt=5\sin \frac{5}{2}\vartheta d\vartheta \), \(p=\sqrt{2-{{t}^{2}}}\to pdp=-tdt\)) otteniamo: \[3\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi /5}{\sqrt{1-\cos \frac{5}{2}\vartheta }}d\vartheta =\frac{12\sqrt{2}}{5}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\frac{t}{\sqrt{2-{{t}^{2}}}}}dt=\frac{12\sqrt{2}}{5}\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{}dp=\frac{24}{5}\quad .\]
Massimo Bergamini

Ricevo da Stefania la seguente domanda:
 
Caro professore,
mi aiuta a risolvere questi problemi?
1) Sia \(ABC\) un triangolo isoscele di base \(AB\). Preso un punto \(K\) sul lato \(CA\), traccia a partire da \(K\) la parallela ad \(AB\) che intercetta \(CB\) in \(J\); si vengono così a formare un triangolo e un trapezio. Determina a quale distanza da \(A\) deve essere posto il punto \(K\) affinchè risulti minimo il prodotto tra le aree di \(CKJ\) e di \(ABKJ\).
2) Determina i vertici del trapezio isoscele di area massima, inscritto nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione \(y=x^2-10x+18\) e dall’asse \(x\) e avente la base su quest’ultimo.
3) Considera l’ellisse di equazione \(4x^2+y^2=16\) e le rette parallele all’asse \(x\) che la intersecano in \(D\) ed \(E\). Calcola per quali rette realizza l’area minima il triangolo formato dalle tangenti all’ellisse in \(D\) ed \(E\) e dall’asse delle ascisse.
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Stefania,
nel primo caso, posto \(AC=l\), e \(x=AK\), con \(0<x<l\), poiché i triangoli \(ABC\) e \(CKJ\) si corrispondono in una similitudine di rapporto \((l-x)/l\), le loro aree stanno in rapporto \({{S}_{ABC}}:{{S}_{CKJ}}={{l}^{2}}:{{\left(l-x \right)}^{2}}\) per cui \[{{S}_{CKJ}}={{S}_{ABC}}\frac{{{\left( l-x \right)}^{2}}}{{{l}^{2}}}\to p\left( x \right)={{S}_{ABJK}}\cdot {{S}_{CKJ}}=\]\[=\left( {{S}_{ABC}}-{{S}_{CKJ}} \right)\cdot {{S}_{CKJ}}=\frac{S_{ABC}^{2}}{{{l}^{2}}}x\left( 2l-x \right){{\left( l-x \right)}^{2}}\] e quindi, derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[p'\left( x \right)=\frac{2S_{ABC}^{2}}{{{l}^{2}}}\left( l-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4lx+{{l}^{2}} \right)\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(p’\left( x \right)=0\) è \(x=\left( 1-\sqrt{2}/2 \right)l\), che corrisponde al minimo cercato.

Nel secondo caso, determinate le intersezioni \(A\) e \(B\) della parabola con l’asse \(x\), cioè \(A\left( 5-\sqrt{7} \right)\), \(B\left( 5+\sqrt{7} \right)\), posta \(x\) l’ascissa del vertice \(D\) del trapezio, con \(5-\sqrt{7}<x<5\), poiché \(CD=2(5-x)\) e \(HD=|y_D|=-x^2+10x-18\), si ha l’area \(S(x)\) di \(ABCD\):\[S\left( x \right)=\left( \sqrt{7}+5-x \right)\left( -{{x}^{2}}+10x-18 \right)\] e quindi, derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[S'\left( x \right)=2\left( 3{{x}^{2}}-2\left( 15+\sqrt{7} \right)x+68+10\sqrt{7} \right)\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(S’\left( x \right)=0\) è \(x= 5-\sqrt{7}/3\), che corrisponde al massimo cercato.
Nell’ultimo caso, posto che \(y=k\) sia la retta \(DE\), è sufficiente, per ovvie ragioni di simmetria, considerare  \(0<k<4\). Si ricavano dapprima le coordinate di \(D\) e \(E\) in funzione di \(k\):        \[D\left( -\frac{\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{2},k \right)\quad \quad E\left( \frac{\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{2},k \right)\]quindi consideriamo la retta tangente in uno dei due punti (l’altro segue per simmetria), ad esempio \(E\), utilizzando la formula di sdoppiamento:   \[\frac{x\sqrt{16-{{k}^{2}}}}{8}+\frac{yk}{16}=1\to 2\sqrt{16-{{k}^{2}}}x+ky-16=0\]da cui ricaviamo, in funzione di \(k\), le intercette \(A\) e \(C\) con l’asse \(y\) e con l’asse \(x\) rispettivamente:\[A\left( 0,\frac{16}{k} \right)\quad \quad C\left( \frac{8}{\sqrt{16-{{k}^{2}}}},0 \right)\]e infine l’area \(S(k)\) del triangolo \(ABC\)e la sua derivata: \[S\left( k \right)=\frac{128}{k\sqrt{16-{{k}^{2}}}}\to S'\left( k \right)=\frac{256\left( {{k}^{2}}-8 \right)}{{{k}^{2}}{{\left( 16-{{k}^{2}} \right)}^{3/2}}}\] per cui la sola soluzione accettabile dell’equazione \(S’\left( k \right)=0\) è \(k= \sqrt{8}\), che corrisponde al minimo cercato.
 
Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:
 
Salve professore,
avrei bisogno del suo aiuto con questi limiti…
Si calcolino, se esistono, tramite l’utilizzo di limiti notevoli, i seguenti limiti:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right) \right){{e}^{\frac{1}{x}}}\] \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{3}} \right)+1-\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)}+\cos \left( \frac{1}{x\ln \left| x \right|} \right)\]\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-1+\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)}+\sin \left( \frac{1}{x{{\ln }^{2}}\left| x \right|} \right)\]

Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Antonio,
nel primo caso possiamo operare così:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)-2\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right) \right){{e}^{\frac{1}{x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}}-2\frac{\left( {{e}^{x{{\sin }^{2}}x}}-1 \right)}{x{{\sin }^{2}}x}\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}} \right)\frac{{{e}^{1/x}}}{1/{{x}^{3}}}=\]
\[=\left( 1-2 \right)\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{1/x}}}{1/{{x}^{3}}}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ 0\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\] quindi il limite per \(x \to 0\) non esiste.
Nel secondo e nel terzo caso i secondi addendi sono funzioni oscillanti nel limite considerato (il loro argomento tende a \(\pm\infty\) in quanto reciproco di un infinitesimo) ma comunque limitate (tra \(-1\) e \(1\)), quindi irrilevanti se sommate a funzioni che costituiscano degli infiniti nel limite considerato, ed è proprio quanto si verifica in entrambi i casi:\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{3}} \right)+1-\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}\sin \left( {{x}^{3}} \right)\left( 1+\frac{\left| x \right|}{{{x}^{3}}}\left( \left( 1-\cos \sqrt{\left| x \right|} \right)/\left| x \right| \right)/\left( \sin \left( {{x}^{3}} \right)/{{x}^{3}} \right) \right)}{{{x}^{3}}\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)\left( \operatorname{l}-\ln \left( 1-{{\sin }^{3}}x \right)/\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+\left| x \right|/{{x}^{3}} \right)}{\left( 1-0 \right)}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ -\infty\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\] \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-1+\cos \sqrt{\left| x \right|}}{\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\frac{\left| x \right|}{{{x}^{3}}}\left( \left( 1-\cos \sqrt{\left| x \right|} \right)/\left| x \right| \right)/\left( \ln \left( 1+{{x}^{3}} \right)/{{x}^{3}} \right) \right)}{\left( \operatorname{l}-\ln \left( 1-{{\tan }^{3}}x \right)/\ln \left( 1+{{x}^{3}} \right) \right)}=\]
\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\left| x \right|/{{x}^{3}} \right)}{\left( 1-0 \right)}=\left\{ \begin{array}{ll} -\infty \ se\ x\to {{0}^{+}} \\ +\infty\quad se\ x\to {{0}^{-}} \\ \end{array} \right.\]  quindi anche in questo casi, essendo diverso il segno degli infiniti nei limiti unilaterali, diciamo che il limite per \(x \to 0\) non esiste.
 
Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
come si calcola l’area del sottografico dell’arco di ipocicloide
\[x=3\cos \vartheta +2\cos \frac{3}{2}\vartheta ,\quad y=3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta \quad \quad 0\le \vartheta \le \frac{2}{5}\pi \quad ?\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
data una curva regolare di equazioni parametriche \(x(t)\), \(y(t)\) nell’intervallo \(t\in [a,b]\), l’area \(S\) della regione di piano compresa tra il grafico della curva e le rette \(x=x(a)\), \(x=x(b)\), \(y=0\) è data dall’integrale \[S=\left| \int\limits_{a}^{b}{y\left( t \right)\dot{x}\left( t \right)dt} \right|\] dove, come al solito, si intende \(\dot{x}=\frac{dx}{dt}\); il valore assoluto può essere eliminato se si ha l’accortezza di scambiare l’ordine degli estremi \(a\) e \(b\) nel caso la parametrizzazione “proceda” nel verso opposto a quello delle \(x\) crescenti. Quindi, nel nostro caso:
\[S=\int\limits_{2\pi /5}^{0}{\left( 3\sin \vartheta -2\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)}\left( -3\sin \vartheta -3\sin \frac{3}{2}\vartheta  \right)d\vartheta =\] \[=-9\int\limits_{2\pi /5}^{0}{{{\sin }^{2}}\vartheta d\vartheta }+6\int\limits_{2\pi /5}^{0}{{{\sin }^{2}}\frac{3}{2}\vartheta d\vartheta }-3\int\limits_{2\pi /5}^{0}{\sin \vartheta \sin \frac{3}{2}\vartheta d\vartheta }=\]\[=\frac{9}{5}\pi -\frac{9}{4}\sin \frac{4}{5}\pi -\frac{6}{5}\pi +\sin \frac{6}{5}\pi +\frac{12}{5}\left( \cos \frac{2}{5}\pi \sin \frac{3}{5}\pi -\frac{3}{2}\sin \frac{2}{5}\pi \cos \frac{3}{5}\pi  \right)=\]\[=\frac{3}{5}\pi -\frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{5}=\frac{3}{5}\pi -\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\approx 1,738\quad .\]
Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:
 
Salve professore,
ho delle difficoltà nel risolvere queste disequazioni:
\[\sqrt{2\pi -\arccos \left| \frac{x}{x-1} \right|}\cdot {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{4}^{\frac{x}{2}+1}}+4\cdot {{4}^{x}}+1 \right)\le 0\]
\[\sqrt{\pi -\arcsin \left| \frac{x}{x-1} \right|}\cdot {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{2}^{\frac{x}{2}+1}}-4\cdot {{2}^{x}}+1 \right)\le 0\]
 
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Antonio,
in entrambi i casi, poichè \(0\le \arccos \le \pi\) e \(-\pi/2\le \arcsin \le \pi/2\), il fattore radice quadrata esiste ed è strettamente positivo se e solo se \(\left| \frac{x}{x-1} \right|\le 1\), cioè se  \(x\le \frac{1}{2}\), quindi si tratta porre la condizione di non positività del fattore logaritmico, cioè, nei due casi:\[{{4}^{\frac{x}{2}+1}}+4\cdot {{4}^{x}}+1\ge 1\to {{2}^{x}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge 0\to x\in \mathbb{R}\]\[{{2}^{\frac{x}{2}+1}}-4\cdot {{2}^{x}}+1\ge 1\to {{2}^{\frac{x}{2}}}\ge {{2}^{x+1}}\to x\le -2\] pertanto la prima disequazione è risolta per ogni \(x\le \frac{1}{2}\), la seconda per ogni \(x\le -2\).
 
Massimo Bergamini

Ricevo da Silvia la seguente domanda:
 
Egregio professore,
io e i miei studenti non riusciamo a risolvere il seguente quesito di calcolo combinato (n.186, pag \(\alpha\)37, Matematica.blu2.0, vol4):
Si organizza un torneo di calcetto (\(5\) contro \(5\)) con undici giocatori. Due partite si dicono diverse tra loro se la composizione di almeno una delle due squadre è diversa. Quante partite diverse si possono fare?
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Silvia,
possiamo ragionare così: scelta come prima squadra una delle possibili cinquine che si possono formare con \(11\) giocatori distinti, la possiamo associare a ciascuna delle seconde squadre che si possono formare con i rimanenti \(6\) giocatori, ma il numero ottenuto va diviso per \(2\), dal momento che in tal modo avremmo contato due volte la stessa partita, poiché avremmo distinto i ruoli di prima squadra e seconda squadra, cosa che non ci interessa (a meno di non voler tener conto di un girone di ritorno..).; in definitiva il numero cercato è dato dal semiprodotto tra il numero di combinazioni semplici di \(11\) elementi presi \(5\) a \(5\) e il numero di combinazioni semplici di \(6\) elementi presi \(5\) a \(5\):\[\frac{1}{2}\cdot \frac{11!}{5!6!}\cdot \frac{6!}{5!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{2\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=1386\quad .\]
Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
la prego di farmi lo studio di queste funzioni:
\[{{f}_{1}}\left( x \right)=\arcsin \left( \ln \left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x} \right) \right)\quad \quad {{f}_{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}sin\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\quad \quad {{f}_{2}}\left( x \right)=\arctan \left( \arcsin \left( \ln \left( x-1 \right) \right) \right)\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
la prima funzione è definita e continua nell’insieme \({{D}_{{{f}_{1}}}}\), soluzione della disequazione\[-1\le \ln \left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x} \right)\le 1\to \frac{1}{e}\le \frac{{{x}^{2}}-1}{x}\le e\to\frac{{{x}^{2}}-ex-1}{x}\le 0\quad \wedge \quad \frac{e{{x}^{2}}-x-e}{x}\ge 0\to\]   \[\to \left\{ x\le \frac{e-\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2}\vee 0<x\le \frac{e+\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2} \right\}\cap \left\{ \frac{1-\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x<0\vee x\ge \frac{1+\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e} \right\}\to\]\[\to {{D}_{{{f}_{1}}}}=\left\{ \frac{1-\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x\le \frac{e-\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2}\vee \frac{1+\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x\le \frac{e+\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2} \right\}\quad .\]
Poiché la funzione è definita e continua nell’unione di due intervalli chiusi e limitati, in ciascuno di essi si applica il teorema di Weierstrass, che implica la limitatezza della funzione: in entrambi gli intervalli il minimo assoluto, \(-\pi/2\), è assunto nell’estremo sinistro, il massimo assoluto, \(\pi/2\), è assunto nell’estremo destro; non è quindi necessario effettuare limiti particolari. La funzione, in ciascuno degli intervalli, è monotona crescente, essendo la derivata prima
\[{{f}_{1}}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x\left( x-1 \right)\sqrt{1-{{\ln }^{2}}\left( \left( {{x}^{2}}-1 \right)/x \right)}}\]sempre positiva nei punti interni di \({{D}_{{{f}_{1}}}}\), tendenzialmente infinita negli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio, quindi la funzione si annulla una sola volta in ciascuno degli intervalli stessi, in corrispondenza ai valori \({{x}_{1}}=\left( 1-\sqrt{5} \right)/2\) e \({{x}_{2}}=\left( 1+\sqrt{5} \right)/2\). L’espressione della derivata seconda è “inaffrontabile” analiticamente: si può comunque inferire la necessità di un cambiamento di concavità, da giù a sù, e quindi di un punto di flesso, all’interno di ciascun intervallo del dominio.

La seconda funzione, definita, continua e derivabile in tutto \({{D}_{{{f}_{1}}}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), pari, nulla per \({{x}_{k}}=1/\sqrt{k\pi }\), \(k\in \mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\}\), alternativamente positiva e negativa tra ciascuna coppia di zeri, ammette il seguente limite\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0\]in conseguenza del teorema del confronto e della seguente disequazione\[-{{x}^{2}}\le {{x}^{2}}\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\le {{x}^{2}}\]da cui si deduce anche che la funzione non ammette limite per \(x\to\pm\infty\), continuando il suo grafico ad oscillare tra quello di \(y=x^2\) e quello di \(y=-x^2\). Le derivate prima e seconda
\[{{f}_{2}}'\left( x \right)=2x\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{x}\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]\[{{f}_{2}}''\left( x \right)=2\left( \frac{{{x}^{4}}-2}{{{x}^{4}}} \right)\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}}\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
si annullano, rispettivamente, in corrispondenza alle soluzioni delle equazioni trascendenti (non risolvibili semplicemente per via analitica) \[\tan \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\quad \tan \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-2}\]e in tali punti, le cui successioni convergono a \(0\), si presentano infiniti massimi e minimi locali, e punti di flesso.
Infine, la terza funzione risulta definita e continua nell’insieme \({{D}_{{{f}_{3}}}}\), soluzione della disequazione\[-1\le \ln \left( x-1 \right)\le 1\to \frac{1}{e}\le x-1\le e\to \frac{e+1}{e}\le x\le e+1\quad .\] Poiché la funzione è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato, si applica il teorema di Weierstrass, che implica la limitatezza della funzione: il minimo assoluto, \(\arctan \left( -\pi /2 \right)\), è assunto nell’estremo sinistro, il massimo assoluto, \(\arctan \left( \pi /2 \right)\), è assunto nell’estremo destro; non è quindi necessario effettuare limiti particolari. La funzione è monotona crescente, essendo la derivata prima \[{{f}_{3}}'\left( x \right)=\frac{1}{\left( 1+{{\arcsin }^{2}}\left( \ln \left( x-1 \right) \right) \right)\sqrt{1-{{\ln }^{2}}\left( x-1 \right)}\left( x-1 \right)}\] sempre positiva per ogni \(x\) interno a \({{D}_{{{f}_{3}}}}\), tendenzialmente infinita negli estremi dell’intervallo che costituisce il dominio, quindi \(f(x)\) si annulla una sola volta, in corrispondenza al valore \({{x}}=2\). Anche in questo caso la derivata seconda è troppo complessa per essere studiata in termini esatti; si deduce dall’andamento della funzione che il suo grafico deve presentare un cambiamento di concavità, da giù a sù, e quindi un punto di flesso obliquo.
 
Massimo Bergamini

Ricevo da Martina la seguente domanda:
 
Salve Professore,
non riesco a capire come risolvere questo quesito di logica, nonostante sappia che la risposta è \(1,5\;km\). Potrebbe aiutarmi? Grazie.
Un regolare servizio ferroviario unisce le località di Gianforte e Chiamone lungo un tragitto di \(16\;km\) che dura \(19\) minuti. Il treno viaggia alla velocità costante di \(60\;km/h\) in entrambe le direzioni eccetto che in galleria dove vige il limite di \(20\;km/h\). I treni che viaggiano in direzione di Chiamone entrano in galleria dopo aver percorso \(4\; km\) dalla stazione di partenza di Gianforte. Quanto è lunga la galleria?
 
Le rispondo così:
 
Cara Martina,
detta \(X\) la lunghezza della galleria, ricaviamo il tempo di viaggio (\(19\) minuti) come somma di tre tempi:
1) tempo di percorrenza del primo tratto di \(4\;km\) alla velocità di \(1\;km/min\) = \(4\) minuti;
2) tempo di percorrenza della galleria di lunghezza \(X\) alla velocità di \((1/3)\;km/min\) = \(3X\) minuti;
3) tempo di percorrenza dell’ultimo tratto di \((16 – 4 -X)\;km\) alla velocità di \(1\;km/min\) = \((12-X)\) minuti.
Quindi: \[19 = 4 + 3X +12 - X \rightarrow X=1,5\;km\quad .\]
 
Massimo Bergamini

Ricevo da Marinella la seguente domanda:

Buongiorno Professore,

ho provato a risolvere il seguente esercizio (n.261, pag.42\(\alpha\), Matematica Blu 2.0), ma non capisco come procedere.

Six people – Bob, Bobbie, Rob, Robbie, Robert and Roberta – are to be divided into two study groups. The groups cannot have any person in commom, and each group must contain at least one person. In how many ways can this be done?

Mi farebbe vedere lo svolgimento? Grazie.

Le rispondo così:

Cara Marinella,

premesso che l’ordine all’interno di ciascun gruppo non interessa, e che quindi abbiamo a che fare con combinazioni e non disposizioni, osserviamo innanzitutto che ci sono solo tre tipi di suddiivisione possibili: \(1\;-\;5\), \(2\;-\;4\), \(3\;-\;3\). Il primo tipo si può realizzare in \(6\) modi distinti, a seconda della scelta della persona che fa gruppo a sé. Il secondo tipo si può realizzare in un numero di modi pari alle possibili combinazioni di \(6\) elementi distinti presi \(2\) a \(2\), cioè \(6!/\left( 2!4! \right)=15\). Infine, l’ultimo tipo di suddivisione si può realizzare in un numero di modi pari alla metà delle combinazioni di \(6\) elementi distinti presi \(3\) a \(3\), cioè \(\left[ 6!/\left( 3!3! \right) \right]/2=10\), dove la divisione per \(2\) si rende in tal caso necessaria a causa del fatto che i due sottogruppi, contenendo le stesso numero di elementi, sono “simmetrici” e quindi, non volendo distinguere un “1° sottogruppo” da un “2° sottogruppo”, si deve dimezzare il numero di combinazioni, che in questo caso è pari al doppio delle “suddivisioni”. In conclusione, il numero complessivo delle suddivisioni possibili è \[6+15+10=31\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Simona la seguente domanda:
 
Professore,
gentilmente mi spiegherebbe questo problema sul calcolo combinatorio (MatematicaBlu, pag.41\(\alpha\), n.254)?
Quante distinte stringhe di \(5\) lettere dell’alfabeto inglese da \(26\) lettere (con possibile ripetizione) contengono esattamente tre lettere distinte?
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Simona,
il problema, per ogni possibile scelta di \(3\) distinte lettere tra \(26\) (combinazioni semplici \({{C}_{26,3}}\)),  consiste nel determinare quanti tipi di anagrammi di \(5\) lettere si possono formare e, per ogni tipo, quanti siano gli anagrammi distinti. Per intenderci, supponiamo di avere scelto le tre lettere, diciamo \(A\), \(B\), \(C\): ci sono solo \(6\) possibili tipi di anagramma, \(3\) del tipo “una lettera singola più due coppie” (nel nostro esempio \(ABBCC\), \(BAACC\), \(CAABB\)) e \(3\) del tipo “una lettera ripetuta tre volte più due singole” (nel nostro esempio \(AAABC\), \(BBBAC\), \(CCCAB\)). Ognuno dei \(6\) casi si presenta in un numero di modi pari agli anagrammi possibili (permutazioni con ripetizione) della cinquina tipica, cioè ciascuno dei primi tre in \(\frac{5!}{2!2!}=30\) modi, ciascuno dei secondi tre in \(\frac{5!}{3!}=20\) modi: in totale, ogni terna possibile di caratteri comporta \(3\cdot 30+3\cdot 20=150\) stringhe distinte. Il numero totale è quindi ottenibile dalla semplice moltiplicazione             \[{{C}_{26,3}}\cdot 150=\frac{150\cdot 26!}{23!3!}=150\cdot 26\cdot 25\cdot 4=390000\quad .\]
Massimo Bergamini

Ricevo da Giulia la seguente domanda:
 
Salve Professore,
si dimostri che le tangenti nei punti di intersezione delle parabole di equazione \(y=x^2\) e \(y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+1\) sono tra loro perpendicolari.
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Giulia,
poiché le parabole si incontrano nei punti aventi ascisse che risolvono l’equazione \(4{{x}^{2}}=3\), cioè \(x=\pm \sqrt{3}/2\), calcoliamo le derivate delle due funzioni in tali punti:     \[y={{x}^{2}}\to y'=2x\to y'\left( \pm \sqrt{3}/2 \right)=\pm \sqrt{3}\] \[y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+1\to y'=-\frac{2}{3}x\to y'\left( \pm \sqrt{3}/2 \right)=\mp \frac{\sqrt{3}}{3}\]
e poiché \[\left( \pm \sqrt{3} \right)\cdot \left( \mp \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=-1\] resta verificato che le coppie di tangenti sono formate da rette perpendicolari.
Massimo Bergamini

Ricevo da Vincenza la seguente domanda:
 
Salve Professore,
si lanciano contemporaneamente tre dadi. Calcola la probabilità che i numeri usciti:  siano tutti e tre uguali o almeno due dei tre siano il \(4\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Vincenza,
operiamo con una “conta” diretta dei casi favorevoli sul totale dei casi possibili, equiprobabili a priori, che nel nostro caso sono le configurazioni dei tre dadi, pari a \(6^2=216\). I casi in cui i numeri sono tutti uguali sono \(6\), mentre i casi in cui si hanno esattamente due \(4\) sono \(15\) (gli accoppiamenti del doppio \(4\) con ciascuno degli altri \(5\) numeri possono avvenire ciascuno in \(3\) modi diversi, a seconda del dado su cui compare tale numero); nella condizione “almeno due” rientra anche la possibilità di avere tre volte \(4\), ma questa è già stata conteggiata nei \(6\) casi precedenti. In definitiva, il nostro evento si verifica in \(6+15=21\) casi distinti su \(216\), cioè ha una probabilità di verificarsi pari a \[p=\frac{21}{216}=\frac{7}{72}\quad .\]
Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

ho delle difficoltà nel risolvere questo esercizio.

Si studi la seguente disequazione:\[\left( {{3}^{2x}}-{{3}^{x}}-2 \right)\sqrt{1+{{\log }_{\frac{2}{\pi }}}\left( \arccos \left( \frac{x}{x-1} \right) \right)}\ge 0\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

poiché la radice, se esiste, è non negativa, si tratta di intersecare la condizione di non negatività del radicando con la condizione di non negatività del trinomio esponenziale. Poiché l’arcocoseno esiste se \(-1\le \frac{x}{x-1}\le 1\), cioè se \(x\le \frac{1}{2}\), mentre il logaritmo in base \(\frac{2}{\pi }\) esiste maggiore o uguale a \(-1\) se \[0<\arccos \left( \frac{x}{x-1} \right)\le \frac{\pi }{2}\] cioè se \(0\le \frac{x}{x-1}<1\), vale a dire se \(x\le 0\), possiamo dire che il fattore rappresentato dalla radice esiste, non negativo, se e solo se \(x\le 0\). D’altra parte, il primo fattore è maggiore o uguale a zero se e solo se \({{3}^{x}}\ge 2\), cioè se e solo se \(x\ge {{\log }_{3}}2>0\), mentre è strettamente negativo altrove, in particolare per  \(x\le 0\); ne consegue che la disequazione è soddisfatta solamente per quei valori \(x\le 0\) tali che il primo termine si annulli, cioè solamente per \(x=0\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Professore, cortesemente un aiuto (es.210, pag.425, Matematica.blu 2.0):

L’asse maggiore di un’ellisse sia \(AB\) e \(O\) il suo centro, e sia \(F\) uno dei fuochi, \(P\) un punto sull’ellisse e \(CD\) una corda passante per \(O\) tale che \(CD\) è parallela alla tangente all’ellisse in \(P\). La retta \(PF\) e la retta \(CD\) si incontrano in \(Q\). Ricava il rapporto tra le lunghezze di \(PQ\) e \(OA\) (Taiwan National Olympiad, 2005).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

siano \(F\) ed \(F_2\) i fuochi,   \(Q\) l’intersezione tra \(PF\) e \(CD\), \(Q_2\) l’intersezione tra \(PF_2\) e \(CD\). Siano \(M\), \(R\) e \(R_2\) le proiezioni di \(P\), \(F\) e \(F_2\) su \(CD\) rispettivamente. I triangoli \(PMQ\) e \(PMQ_2\) sono congruenti in quanto rettangoli, con il cateto \(PM\) in comune e con gli angoli \({{Q}}\hat{P}M\) e \({{Q}_{2}}\hat{P}M\) congruenti in conseguenza della proprietà “ottica” dell’ellisse (un “raggio” uscente da un fuoco viene “riflesso” nell’altro fuoco), quindi \(P{{Q}}\cong P{{Q}_{2}}\). Anche i triangoli \(FR_1Q_1\) e \(F_2Q_2R_2\) sono congruenti in quanto rettangoli, con \(FR\cong {{F}_{2}}{{R}_{2}}\) e \(F\hat{Q}R\cong {{F}_{2}}{{\hat{Q}}_{2}}{{R}_{2}}\) (i triangoli \(FRO\) e \(F_2R_2O\) sono simmetrici, quindi congruenti), e quindi: \[AB=PF+P{{F}_{2}}=FQ+QP+P{{Q}_{2}}-{{Q}_{2}}{{F}_{2}}=\] \[=\overline{QP}+{{\overline{PQ}}_{2}}=2\overline{PQ}\Rightarrow \overline{PQ}=\frac{\overline{AB}}{2}\]

e poiché \(\overline{AB}=2\overline{AO}\), si ha:\[\frac{\overline{PQ}}{\overline{OA}}=1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ilaria la seguente domanda:

Professore,

non riesco a risolvere il seguente problema:

Determina la retta comune ai due fasci di equazioni \(y=mx-2m+1\) e \((2-k)x-(k+1)y-3=0\) e indica i relativi valori di \(m\) e \(k\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Ilaria,

scriviamo i fasci in modo da mettere in evidenza le cosiddette generatrici:\[m\left( x-2 \right)-y+1=0\quad \quad k\left( x+y \right)-2x+y+3=0\] da cui si conclude che si tratta di due fasci propri, il primo di centro \(A(2;1)\), il secondo di centro \(B(1;-1)\), per cui la retta comune è necessariamente la retta \(AB\) passante per i centri, cioè \(y=2x-3\), che si ottiene nel primo fascio ponendo \(m=2\), mentre nel secondo tale retta corrisponde alla generatrice “\(k=\infty\)”, cioè non esiste alcun valore finito di \(k\) per il quale la retta del fascio sia questa, ma al crescere del valore assoluto di \(k\) la retta del fascio si avvicina sempre più a questa seconda generatrice.

Massimo Bergamini

Ricevo da Mirko la seguente domanda:

Buonasera Egregio Professore,

avrei un problema di applicazione del teorema di Rolle da proporle, poiché non riesco a risolverlo.

Data la funzione: \[f(x)= \frac{a^2x^4- 8x^2+7}{4}\] determina i valori del parametro \(a\) per i quali nell’intervallo \([-|a| ,|a|]\) esiste un unico punto che soddisfa il teorema di Rolle.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Mirko,

vista la continuità e la derivabilità in tutto \(\mathbb{R}\) e, in particolare, la “parità” della funzione, è chiaro che in ogni intervallo \([-|a|,|a|]\) sono soddisfatte le condizioni del teorema di Rolle: esiste quindi di conseguenza almeno un punto \(c\) interno all’intervallo \([-|a| ,|a|]\) in cui sia nulla la derivata della funzione, qualunque sia \(a\ne 0\). Per ottenere l’unicità di tale punto \(c\), osserviamo la derivata della funzione: \[f'(x)=x\left( {{a}^{2}}{{x}^{2}}-4 \right)\]

Da cui si ricava che vi sono in generale tre valori di \(x\) nei quali \(f’(x)=0\), cioè \(x=0\) e \(x=\pm \frac{2}{\left| a \right|}\); poiché \(x=0\) appartiene comunque ad ogni intervallo del tipo \([-|a| ,|a|]\), affinchè tale punto sia l’unico a confermare la tesi del teorema di Rolle nell’intervallo suddetto, si tratta di imporre che gli altri due valori siano non interni all’intervallo, cioè che sia        \[\frac{2}{\left| a \right|}\ge \left| a \right|\to -\sqrt{2}\le a\le \sqrt{2}\quad \quad a\ne 0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Marinella la seguente domanda:

Professore,

da un paio di giorni sto impazzendo sopra questo esercizio (n.36, pag.47\(\alpha\), Matematica Blu 2.0), purtroppo senza risultati apprezzabili. Mi farebbe vedere lo svolgimento? Grazie.

Dati i numeri \(2,3,4,5,6,7\), calcola quanti prodotti con \(4\) fattori diversi si possono fare tali che:

a) siano divisibili per \(7\);

b) siano divisibili per \(6\);

c) siano divisibili per \(8\);

d) siano pari;

e) siano dispari.

Le rispondo così:

Cara Marinella,

la divisibilità per \(7\) la possiamo avere solo includendo \(7\) tra i \(4\) fattori, per cui si tratta di contare in quanti modi possiamo scegliere gli altri \(3\) tra i \(5\) rimasti, cioè le combinazioni di \(5\) oggetti distinti presi \(3\) a \(3\): \({{C}_{5,3}}=\frac{5!}{3!2!}=10\).

La divisibilità per \(6\) si può ottenere in tre casi: includendo il \(6\), e lo possiamo fare in \(10\) modi distinti esattamente come prima, oppure includendo sia il \(2\) che il \(3\), ma escludendo il \(6\) per non conteggiare di nuovo i modi già considerati, e poiché rimangono fuori \(3\) numeri per due posti da occupare, questo caso si può fare in  \({{C}_{3,2}}=\frac{3!}{2!1!}=3\) modi distinti, oppure includendo sia il \(3\) che il \(4\) ma lasciando fuori \(2\) e \(6\), sempre per non ripetere, e questo lo si può fare in un unico modo, cioè \(3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\); totale, \(10+3+1=14\) modi distinti.

La divisibilità per \(8\) si può ottenere in due casi: includendo sia il \(2\) che il \(4\), e lo possiamo fare in \({{C}_{4,2}}=\frac{4!}{2!2!}=6\) modi distinti, oppure includendo sia il \(6\) che il \(4\), ma escludendo il \(2\) per non conteggiare di nuovo i modi già considerati, e questo si può fare in  \({{C}_{3,2}}=\frac{3!}{2!1!}=3\) modi distinti; totale, \(6+3=9\) modi distinti.

La parità si può ottenere in tre casi: includendo il \(2\), e lo possiamo fare in \(10\) modi distinti, oppure includendo il \(4\) ma escludendo il \(2\), e questo caso si può fare in  \({{C}_{4,3}}=\frac{4!}{3!1!}=4\) modi distinti, oppure includendo il \(6\) ma lasciando fuori \(2\) e \(4\), sempre per non ripetere, e questo lo si può fare in un unico modo, cioè \(3\cdot 5\cdot 6\cdot 7\); totale, \(10+4+1=15\) modi distinti.

Infine, è chiaro che non vi è alcun modo di ottenere un prodotto dispari scegliendo \(4\) distinti fattori da questi numeri, dal momento che solo \(3\) fra essi sono dispari.

Massimo Bergamini

Ricevo da Simona la seguente domanda:

Professore,

potrebbe spiegarmi questo problema sul calcolo combinatorio (n.29, pag.46\(\alpha\), MatematicaBlu 2.0)?

Con le prime cinque cifre (da \(0\) a \(4\)) quanti numeri puoi formare:

a) di tre cifre tutte diverse;

b) di quattro cifre anche ripetute;

c) di cinque cifre diverse che iniziano con \(4\);

d) di due cifre pari diverse.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Simona,

in questo tipo di esercizio bisogna tener presente che un numero non può cominciare con uno o più zeri. Detto ciò, nel primo caso si tratta di considerare le disposizioni di \(5\) oggetti distinti in \(3\) posti, cioè \({{D}_{5,3}}=5!/2!=60\), e poi sottrarvi quelle che hanno come prima cifra \(0\), e sono tante quante le disposizioni di \(4\) oggetti distinti in \(2\) posti, cioè \({{D}_{4,2}}=4!/2!=12\), totale: \(48\). Nel secondo caso, posto che per la prima cifra abbiamo solo \(4\) possibilità, mentre ne abbiamo \(5\) per ciascuna delle altre \(3\), il numero richiesto è: \(4\cdot 5\cdot 5\cdot 5=500\). Nel terzo caso, si tratta di disporre \(4\) cifre distinte in \(4\) posti, essendo il primo fissato, cioè di contare le permutazioni \({{P}_{4}}=4!=24\). Infine, le coppie di cifre pari a disposizione sono solo \(0\)-\(2\), \(0\)-\(4\), \(2\)-\(4\): possiamo formare un solo numero con ciascuna delle prime due, mentre ne possiamo formare due con la terza, totale: \(4\) numeri.

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

le chiedo cortesemente di aiutarmi a capire come determinare gli intervalli dei valori di \(k\) che individuano le rette del fascio che intersecano gli archi di curva imposti dalla limitazione dell’equazione parametrica seguente:

\[\left( 2k-1 \right)\tan \frac{x}{2}-3+k=0\quad \quad k\in \mathbb{R}-\left\{ -\frac{1}{2} \right\}\quad 0 <x<\frac{3}{2}\pi \]

La ringrazio.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

il modo più diretto mi pare il seguente: possiamo immaginare l’equazione come la risultante del sistema tra le equazioni \(y=\tan \frac{x}{2}\) e \(\left( 2k-1 \right)y-3+k=0\), con \(0<x<\frac{3}{2}\pi \); la prima equazione, con la relativa limitazione, si traduce in una porzione del grafico di \(y=\tan \frac{x}{2}\), la seconda è l’equazione di un fascio di rette parallele all’asse \(x\), che possiamo riscrivere in questo modo: \[k\left( 2y+1 \right)+\left( y-3 \right)=0\quad \quad k\ne -\frac{1}{2}\] mettendo così in evidenza le generatrici \(y=3\) (\(k=0\)) e \(y=-\frac{1}{2}\) (\(k=\infty\)), nonché il fatto che per \(k=-\frac{1}{2}\) la retta ha   “\(q=\infty\)”, cioè è “fuori dal piano”. Poiché si ricava facilmente che la retta del fascio incontra gli estremi \((0,0)\) e \((3\pi/2,-1)\) dell’arco del grafico di \(y=\tan \frac{x}{2}\) per i valori \(k=3\) e \(k=-2\), si deduce che la retta del fascio “scorre” dall’alto al basso al crescere di \(k\), attraversando \(y=-\frac{1}{2}\) quando \(k=\infty\), “uscendo” dal piano verso il basso per “rientrare” poi dall’alto quando \(k=-\frac{1}{2}\), e che l’equazione ammette una soluzione per ogni valore di \(k\) tale che \[-2<k<3\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

ho problemi con i seguenti esercizi (N° 317 e N° 315 pag.891 Vol.4 Matematica.Blu 2.0):

Un triangolo \(LMN\) è inscritto in una circonferenza di raggio \(r=5\); la lunghezza del lato \(LM\) è \(5\sqrt{3}\). Determina l’ampiezza dell’angolo \(M\hat{L}N\) in modo che risulti valida la relazione \(L{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}=25\sqrt{3}\).

In una circonferenza di centro \(O\) e diametro \(AB=2r\) la corda \(MN\) è perpendicolare al diametro e lo divide in due parti che stanno nel rapporto \(\frac{7}{3}\). Determina l’ampiezza dell’angolo al centro \(M\hat{O}N=2x\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

nel primo caso si ottengono due equazioni, a seconda che \(N\) si trovi sull’arco compreso nella parte di piano che contiene il centro, e quindi veda la corda \(LM\) sotto un angolo di \(60^\circ\), oppure sull’altro arco, e veda la stessa corda sotto un angolo di \(120^\circ\). Nella prima ipotesi, essendo \[LN=10\sin \left( 120{}^\circ -x \right)\quad MN=10\sin x\] l’equazione per \(x\), che ha limitazioni \(0<x<120^\circ\), è \[\left( 1+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x-2\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}-1=0\] le cui soluzioni \(\tan x=1\vee \tan x=2-\sqrt{3}\) danno gli angoli accettabili \(x=15{}^\circ \vee x=45{}^\circ .\) Nella seconda ipotesi, l’equazione diventa \[\left( 1+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x-2\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}-1=0\] con le limitazioni \(0<x<60^\circ\),  le cui soluzioni \(\tan x=-1\vee \tan x=-2+\sqrt{3}\) danno angoli non accettabili.

Nel 2° caso, il problema si risolve ricordando il \(2^\circ\) teorema di Euclide. Infatti, posto che il diametro \(AB\) misuri \(10\), detto \(H\) il punto di intersezione tra \(AB\) e \(MN\), il triangolo rettangolo \(ABM\) ha l’altezza relativa all’ipotenusa, cioè \(MH\), tale che \(AH:MH=MH:HB\), da cui \(MH=\sqrt{21}\). Poichè l’angolo \(B\hat{A}M=\frac{x}{2}\) è tale che \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{21}}{7}\), si ha \[\sin x=\frac{2\tan \left( x/2 \right)}{1+{{\tan }^{2}}\left( x/2 \right)}=\frac{\sqrt{21}}{5}\to 2x=2\arcsin \left( \frac{\sqrt{21}}{5} \right)\quad .\]

Massimo Bergamini