Ricevo da Beatrice la seguente domanda:

Gentile professore,

Ho alcuni dubbi sul seguente problema:

Si prendono a caso \(3\) lampadine fra \(15\) lampadine di cui \(5\) difettose. Determinare la probabilità \(p\) che:

- nessuna sia difettosa;

- esattamente una sia difettosa;

- almeno una sia difettosa.

La ringrazio in anticipo.

Le rispondo così:

Cara Beatrice,

si tratta di una diretta applicazione dei teoremi del prodotto, della somma e delle probabilità per eventi che sono intersezioni e/o unioni di altri eventi, in particolare:

\(E_1\)=”nessuna sia difettosa”=”non difettosa la \(1^\circ\)” et “non difettosa la \(2^\circ\)” et “non difettosa la \(3^\circ\)”, per cui

              \[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{91}\approx 26,37\%\]

\(E_2\)=”esattamente una sia difettosa”=”difettosa la \(1^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(2^\circ\) et non difettose le altre” vel “difettosa la \(3^\circ\) et non difettose le altre”, per cui

\[p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{14}\cdot \frac{9}{13}+\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{5}{13}=\frac{45}{91}\approx 49,45\%\]

\(E_3\)=”almeno una sia difettosa”=”non avvenga che nessuna sia difettosa” =non-\(E_1\), per cui

            \[p\left( {{E}_{3}} \right)=1-p\left( {{E}_{1}} \right)=1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}\approx 73,62\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come faccio a dimostrare che in un triangolo qualsiasi vale la seguente relazione:

                          \[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad ?\]

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alla figura:

\[\tan \alpha =\frac{BK}{AK}=\frac{a\sin \gamma }{c\cos \alpha }\quad \tan \beta =\frac{AJ}{BJ}=\frac{b\sin \gamma }{c\cos \beta }\]\[c=AH+HB=b\cos \alpha +a\cos \beta \] da cui: \[\frac{1}{\tan \alpha }+\frac{1}{\tan \beta }=\frac{c\cos \alpha }{a\sin \gamma }+\frac{c\cos \beta }{b\sin \gamma }=\frac{c\left( b\cos \alpha +a\cos \beta  \right)}{ab\sin \gamma }=\frac{{{c}^{2}}}{ab\sin \gamma }\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Stefania la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuta a risolvere questi integrali con il metodo di sostituzione?

  \[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx\quad \quad \quad \int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx\quad .\]

Grazie!

Le rispondo così:

Cara Stefania,

nel primo caso, posto \(x=\tan y\), si ha \(dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)dy\), per cui:

\[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx=\int{\frac{1+{{\tan }^{2}}y}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}y}}}dy=\int{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}y}}dy=\int{\frac{1}{\cos y}dy=}\int{\frac{\cos y}{1-{{\sin }^{2}}y}dy}\]

e quindi, posto \(t=\sin y\) e \(dt=\cos ydy\):

\[\int{\frac{\cos y}{1-{{\sin }^{2}}y}dy}=\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}dt+}\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}dt}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+c\]per cui, essendo

\[\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+c=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin y}{1-\sin y} \right|+c=\ln \left| \frac{1}{\cos y}+\tan y \right|+c\]si ha: \[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)+c\quad .\]

Nel secondo caso, posto \(t=\cos x\) e \(dt=-\sin xdx\), si ha:

\[\int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx=-\int{\frac{1}{{{t}^{2/3}}}}dt=-3{{t}^{\frac{1}{3}}}+c\quad \quad t\ne 0\]per cui: \[\int{\frac{\sin x}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1/3}}}}dx=-3\sqrt[3]{\cos x}+c\quad \quad x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi aiuta risolvere i seguenti problemi (pag.25\(\alpha\), nn. 48, 50, 51, Manuale blu 2.0 di matematica):

1) Quanti numeri pari di \(3\) cifre si possono scrivere utlizzando le cifre dell’insieme \(A=\left\{ 1,2,3,5,7 \right\}\)?

2) Quanti numeri pari di \(3\) cifre si possono scrivere utlizzando le cifre dell’insieme \(B=\left\{ 1,2,3,4,5,7 \right\}\)?

3) In un’urna abbiamo dieci palline numerate da \(1\) a \(10\). Calcola quante terne si possono ottenere estraendo una pallina per tre volte consecutive, rimettendola ogni volta nell’urna dopo l’estrazione, tali che il primo numero sia divisibile per tre.

Grazie mille.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

nel primo caso, poiché il numero termina necessariamente con la cifra \(2\), si tratta solo di contare i modi in cui possiamo scegliere le prime due cifre dall’insieme \(A\), cioè le disposizioni con ripetizione di \(2\) elementi scelti da un insieme di \(5\) elementi distinti, quindi \({{5}^{2}}=25\).

Si procede in modo analogo nel secondo caso, con la sola differenza che il numero può terminare sia per \(2\) che per \(4\), per cui: \(2\cdot {{6}^{2}}=72\).

Nel terzo caso, le terne ordinate accettabili sono di tre tipi: quelle che iniziano con \(3\), quelle che iniziano con \(6\), quelle che iniziano con \(9\): ciascun tipo si presenta in \({{10}^{2}}=100\) modi possibili, quante sono in ciascun caso le possibili coppie di \(2^\circ\) e \(3^\circ\) estratti, quindi in totale si hanno \(300\) terne ordinate accettabili.

Massimo Bergamini

Ricevo da Francesca la seguente domanda:

Dopo aver stabilito per quali valori del parametro \(k\) l’equazione \((k-2)x^2+(1-2k)y^2=3(15k-1)\) rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse \(x\), determinare l’iperbole equilatera del fascio, e siano \(A_1\) e \(A_2\) i suoi vertici, di cui \(A1\) è quello di ascissa positiva. Inoltre:

a) determinare l’equazione dell’ellisse avente due vertici coincidenti con \(A_1\) e \(A_2\) e per fuochi i punti \(F_1(0;3)\) e \(F_2(0;-3)\);

b) data la retta \(r:3x-5y+5=0\), indicata con \(n\) la retta perpendicolare a \(r\) e passante per l’origine degli assi \(O\), determinare il punto \(T\) del \(2^\circ\) quadrante d’intersezione tra \(n\) e l’ellisse;

c) sul minore dei due archi \(A_1T\) dell’ellisse determinare un punto \(P\) in modo che l’area del triangolo \(A_1TP\) sia uguale a \(8\left( \sqrt{5}-1 \right)\).

Le rispondo così:

Cara Francesca,

la condizione per la quale l’equazione rappresenta un’iperbole con fuochi sull’asse \(x\) è equivalente al seguente sistema di disequazioni:

\[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{15k-1}{1-2k}<0 \\ \frac{15k-1}{k-2}>0 \end{array} \right.\]

che si risolve in \(k<\frac{1}{15}\vee k>2\); in particolare, la condizione \(k-2=-\left( 1-2k \right)\to k=-1\) determina l’iperbole equilatera del fascio:    \[\frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\] avente vertici \(A_1(4,0)\) e \(A_2(-4,0)\). L’ellisse con questi vertici e fuochi \(F_1(0;3)\) e \(F_2(0;-3)\) ha equazione: \[\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\]come si può ricavare dalla condizione \({{c}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\to 9={{b}^{2}}-16\to b=5\). La retta \(n\), di equazione \(y=-\frac{5}{3}x\), incontra l’ellisse nel punto \(T\left( -\frac{12}{5},4 \right)\) del \(2^\circ\) quadrante, per cui il triangolo \(A_1TP\) ha il lato \(A_1T\) fissato, di lunghezza \({{A}_{1}}T=\frac{4\sqrt{89}}{5}\). Il punto \(P\) variabile sull’arco \(TA_1\) ha ascissa \(x\) compresa tra \(-\frac{12}{5}\) e \(4\), e ordinata \(\frac{5}{4}\sqrt{16-{{x}^{2}}}\), per cui l’altezza del triangolo relativa al lato \(A_1T\) è la distanza \(PH\) tra \(P\) e la retta \(A_1T\), avente equazione \(8y+5x-20=0\):           \[PH=\frac{\left| 5x+10\sqrt{16-{{x}^{2}}}-20 \right|}{\sqrt{89}}\] per cui l’area \(S\) di \(A_1TP\) è: \[S=\frac{1}{2}\frac{\left| 5x+10\sqrt{16-{{x}^{2}}}-20 \right|}{\sqrt{89}}\cdot \frac{4\sqrt{89}}{5}=2\left| x+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}-4 \right|\]da cui l’equazione \[=2\left| x+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}-4 \right|=8\left( \sqrt{5}-1 \right)\to 2\sqrt{16-{{x}^{2}}}=4\sqrt{5}-x\to \]\[\to 5{{x}^{2}}-8\sqrt{5}x+16=0\to {{\left( \sqrt{5}x-4 \right)}^{2}}=0\to x=\frac{4\sqrt{5}}{5}\] cioè il punto \(P\) cercato è           \[P\left( \frac{4\sqrt{5}}{5},2\sqrt{5} \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi può aiutare con questo esercizio?

Sia \(A=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\).

Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con i numeri dell’insieme \(A\)?

Quanti di questi sono dispari?

Quanti terminano con \(9\)?

Quanti sono maggiori di \(700\)?

Grazie mille.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

i numeri di tre cifre distinte che si possono formare con i numeri dell’insieme \(A\) sono tanti quante le disposizioni semplici di \(9\) oggetti distinti presi tre a tre, cioè \({{D}_{9,3}}=9!/\left( 9-3 \right)!=9\cdot 8\cdot 7=504\). Quelli dispari, sono quelli che terminano con una delle \(5\) cifre dispari: poiché ciascun caso può presentarsi in un numero di modi pari alle disposizioni delle rimanenti \(8\) cifre prese due a due, in totale si hanno  \(5\cdot {{D}_{8,2}}=5\cdot 8!/\left( 8-2 \right)!=5\cdot 8\cdot 7=280\) numeri dispari. I numeri che terminano con \(9\), per quanto detto, sono \({{D}_{8,2}}=8\cdot 7=56\), mentre quelli maggiori di \(7\) sono quelli che iniziano con \(7\), \(8\) o \(9\), cioè \(3\cdot {{D}_{8,2}}=3\cdot 8\cdot 7=168\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Valeria la seguente domanda:

Professore,

mi può aiutare con questo problema?

Sia data la circonferenza di raggio \(r\) e centro \(O\). Fissato un suo diametro \(AB\) e un suo punto \(C\), siano \(r\) la retta tangente alla circonferenza in \(C\) ed \(s\) la retta per \(O\) e perpendicolare al diametro. Detto \(D\) il punto di intersezione tra le due rette, determina l’angolo \(B\hat{O}C\) in modo che la differenza tra l’area del triangolo \(AOD\) e la metà dell’area del triangolo \(COD\) sia minima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Valeria,

posto \(x=B\hat{O}C\), con \(0<x<\pi\) (nella semicirconferenza inferiore si ripetono simmetricamente le relazioni geometriche già considerate in quella superiore), si ha:         \[OD=\frac{OC}{\sin x}=\frac{r}{\sin x}\quad CD=\frac{r\cos x}{\sin x}\]da cui: \[{{S}_{AOD}}=\frac{1}{2}AO\cdot OD=\frac{{{r}^{2}}}{2\sin x}\quad {{S}_{COD}}=\frac{1}{2}DC\cdot OC=\frac{{{r}^{2}}\cos x}{2\sin x}\] e quindi la funzione di cui cercare il minimo è \[f\left( x \right)={{S}_{AOD}}-\frac{1}{2}{{S}_{COD}}=\frac{{{r}^{2}}\left( 2-\cos x \right)}{4\sin x}\quad .\] Derivando \(f(x)\) e studiandone zeri e segno nell’intervallo \(0<x<\pi\) si ricava il minimo cercato: \[f'\left( x \right)=\frac{{{r}^{2}}\left( {{\sin }^{2}}x-\left( 2-\cos x \right)\cos x \right)}{4{{\sin }^{2}}x}=\frac{{{r}^{2}}\left( 1-2\cos x \right)}{4{{\sin }^{2}}x}\to \]\[\to f'\left( x \right)=0\leftrightarrow 1-2\cos x=0\to \cos x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi }{3}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

non sono riuscita a fare questi integrali:

\[\int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x\ln x}dx\quad \quad }\int{{{x}^{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx\quad\quad} \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-2}}dx\quad .}\]

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

operiamo in ciascun caso opportune sostituzioni di variabile. Nel primo caso:

\[t=\ln x\to dt=\frac{1}{x}dx\to \int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x\ln x}dx=}\int{\frac{\sqrt{1+t}}{t}dt}\]\[\sqrt{1+t}=p\to t={{p}^{2}}-1\to dt=2pdp\to \int{\frac{\sqrt{1+t}}{t}dt}=2\int{\frac{{{p}^{2}}}{{{p}^{2}}-1}dp}\to \]\[\to 2\int{\frac{{{p}^{2}}}{{{p}^{2}}-1}dp=}2\int{dp+\int{\frac{1}{p-1}dp-}\int{\frac{1}{p+1}dp}=}2p+\ln \left| p-1 \right|+\ln \left| p+1 \right|+c=\]\[2\sqrt{1+\ln x}+\ln \left| \frac{\sqrt{1+\ln x}-1}{\sqrt{1+\ln x}+1} \right|+c=2\sqrt{1+\ln x}+2\ln \left| \sqrt{1+\ln x}-1 \right|-\ln \left( \ln x \right)+c\quad .\]

Nel secondo caso:

\[\frac{x}{2}=\sin t\to dx=2\cos tdt\to \int{{{x}^{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=2\int{{{x}^{2}}\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}dx=16\int{{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{2}}tdt}}=\]

\[=16\int{{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{2}}tdt}=2\int{2{{\sin }^{2}}\left( 2t \right)dt}=2t-\sin 2t\cos 2t+c=\]\[=2t-2\sin t\cos t\left( 1-2{{\sin }^{2}}t \right)+c=2\arcsin \left( \frac{x}{2} \right)+\frac{{{x}^{3}}}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\frac{x}{2}\sqrt{4-{{x}^{2}}}+c\quad .\]

Nel terzo caso:

\[\sqrt{{{x}^{2}}-2}=t\to dx=\frac{t}{\sqrt{2+{{t}^{2}}}}dt\to \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-2}}dx}=\int{\frac{1}{2+{{t}^{2}}}dt=}\]\[=\int{\frac{1}{2+{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{1/\sqrt{2}}{1+{{\left( t/\sqrt{2} \right)}^{2}}}dt=}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right)+c=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}-2}{2}} \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

come si risolve questo quesito?

Calcola i lati e gli angoli di un triangolo sapendo che i lati sono tre numeri consecutivi e che l’angolo maggiore è doppio del minore.

Grazie mille

Le rispondo così:

Cara Elisa,

sia \(n\), intero positivo, la misura del lato \(a\) di fronte all’angolo minore \(\alpha\), sia \(n+1\) la misura del lato \(b\) di fronte all’angolo \(\beta\), e sia \(n+2\) la misura del lato \(c\) di fronte all’angolo \(\gamma\). Per ipotesi, \(\gamma=2\alpha\), da cui, utilizzando il teorema di Carnot:

\[\cos \alpha =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}+{{\left( n+2 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}}{2\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{{{n}^{2}}+6n+5}{2\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\]

\[\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{n}^{2}}+{{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{\left( n+2 \right)}^{2}}}{2n\left( n+1 \right)}=\frac{{{n}^{2}}-2n-3}{2n\left( n+1 \right)}\]

e poiché \(\cos \gamma =\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\), si deve avere: \[2\frac{{{\left( {{n}^{2}}+6n+5 \right)}^{2}}}{4{{\left( n+1 \right)}^{2}}{{\left( n+2 \right)}^{2}}}-1=\frac{{{n}^{2}}-2n-3}{2n\left( n+1 \right)}\to \]\[2{{n}^{5}}3{{n}^{4}}-25{{n}^{3}}-63{{n}^{2}}-49n-12=0\to {{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( n+3 \right)\left( 2n+1 \right)\left( n-4 \right)=0\] la cui sola soluzione accettabile è \(n=4\), da cui:   \[a=4,\ b=5,\ c=6\] \[\cos \alpha =\frac{9}{12}\to \alpha \approx 41,4{}^\circ ,\ \cos \beta =\frac{9}{16}\to \beta \approx 55,8{}^\circ ,\ \gamma =2\alpha \approx 82,8{}^\circ \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

questo problema mi risulta molto difficile, mi può cortesemente aiutare?

Data la parabola \(y^2=2px\), si conduca una parallela alla tangente nel vertice \(O\), distante del segmento \(OC=a\) dal vertice, che determina il segmento parabolico \(AOB\). Si consideri un punto \(M\) sull’arco \(OA\) e si conducano le perpendicolari \(MH\) e \(MP\) all’asse \(Ox\) e alla retta \(AB\). Studiare la variazione dl volume generato dalla rotazione del trapezio \(OMPC\) ruotando intorno all’asse \(OC\).  Studiare la variazione della superficie totale del cilindro generato dal rettangolo \(MPCH\) dell’esercizio precedente in una rotazione intorno all’asse \(OC\).

Grazie mille.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

posto \(CP=y\), con \(0\le y\le\sqrt{2ap}\), si osserva che \(OH=x_M=\frac{{{y}^{2}}}{2p}\), e quindi \(HC=a-x_M=\frac{2ap-{y}^{2}}{2p}\), per cui, detto \(V\) il volume del solido ottenuto dalla rotazione di \(OMPC\) intorno a \(OC\) e detta \(S\) la superficie totale del cilindro ottenuto dalla rotazione di \(MPCH\) sempre intorno a \(OC\), si ha:

\[V=\frac{1}{3}\pi M{{H}^{2}}\cdot OH+\pi M{{H}^{2}}\cdot HC=\frac{\pi {{y}^{4}}}{6p}+\pi {{y}^{2}}\left( a-\frac{{{y}^{2}}}{2p} \right)=\] \[=\frac{\pi {{y}^{2}}}{3p}\left( 3ap-{{y}^{2}} \right)\]

\[S=2\pi M{{H}^{2}}+2\pi MH\cdot HC=2\pi y\left( y+a-\frac{{{y}^{2}}}{2p} \right)=\]\[=\frac{\pi y}{p}\left( -{{y}^{2}}+2py+2ap \right)\quad .\]

Per assegnati valori dei parametri \(a\) e \(p\), le due funzioni sono quindi semplici polinomi nella variabile \(y\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

ho trovato difficoltà a risolvere questi integrali, me li potrebbe spiegare?

              \[\int{\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}dx\quad \quad \quad }\int{\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx}\]

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso poniamo \(\sqrt{2{{x}^{2}}+1}=\sqrt{2}x+t\), da cui:

\[2{{x}^{2}}+1=2{{x}^{2}}+2\sqrt{2}tx+{{t}^{2}}\to x=\frac{1-{{t}^{2}}}{2\sqrt{2}t}\to dx=-\frac{{{t}^{2}}+1}{2\sqrt{2}{{t}^{2}}}dt\]

e pertanto \(\sqrt{2{{x}^{2}}+1}=\frac{1-{{t}^{^{2}}}}{2t}+t=\frac{1+{{t}^{^{2}}}}{2t}\), da cui:

 \[\int{\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}dx}=-\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}+1}\frac{{{t}^{2}}+1}{2\sqrt{2}t}dt}=-\frac{t}{\sqrt{2}}+c=-\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}+1}{2}}+c\quad .\]

Nel secondo caso, poniamo \(\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=x+t\), da cui:

\[x+1=2tx+{{t}^{2}}\to x=\frac{1-{{t}^{2}}}{2t-1}\to dx=-2\frac{{{t}^{2}}-t+1}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}dt\to \sqrt{{{x}^{2}}+t+1}=\frac{{{t}^{2}}-t+1}{2t-1}\]

e pertanto\[\int{\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx}=-2\int{\left( \frac{2{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}+1 \right)\frac{\left( 2t-1 \right)}{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}}\frac{\left( {{t}^{2}}-t+1 \right)}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}dt=\]\[=-2\int{\frac{2{{t}^{4}}-4t+3}{{{\left( 2t-1 \right)}^{3}}}\,}dt=-\frac{1}{4}\int{\left( 2t+3 \right)\,}dt-\frac{1}{4}\int{\frac{24{{t}^{2}}-48t+27}{8{{t}^{3}}-12{{t}^{2}}+6t-1}dt=}\]\[=-\frac{1}{4}{{t}^{2}}-\frac{3}{4}t-\frac{1}{4}\int{\frac{24{{t}^{2}}-24t+6}{8{{t}^{3}}-12{{t}^{2}}+6t-1}dt+3\int{\frac{2t-1}{{{\left( 2t-1 \right)}^{3}}}dt-\frac{9}{4}\int{\frac{1}{{{\left( 2t-1 \right)}^{3}}}dt}}=}\]\[=-\frac{1}{4}{{t}^{2}}-\frac{3}{4}t-\frac{3}{4}\ln \left| 2t-1 \right|-\frac{3}{2\left( 2t-1 \right)}+\frac{9}{16{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}+c\quad .\]

Operando la sostituzione inversa \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x\), si ottiene:

\[\int{\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}dx}=2\left( 2x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{3}{4}\ln \left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-2x-1 \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Calogero la seguente domanda:

Salve, non so risolvere questo limite (n.138 pag. 1520 Manuale Blu 2.0 di matematica):

                      \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}\]

Grazie mille.

Gli rispondo così:

Caro Calogero,

il numeratore della frazione algebrica si presenta come una forma indeterminata del tipo \(+\infty-\infty\), ma è sufficiente “raccogliere” fuori dalle radici i fattori di grado maggiore per ottenere una semplificazione immediata dell’espressione e del relativo limite:

 \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}}{x}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\sqrt[3]{1+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\]\[=\sqrt[3]{1+0}-\sqrt[3]{1-0}=1-1=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Marcello la seguente domanda:

Gentile professore,

potrebbe aiutarmi a risolvere i seguenti problemi (n.300 e n.303, pag. 420, Matematica.azzurro vol. III)?

1) Scrivi l’equazione dell’iperbole avente un fuoco in \((-5;0)\) e un asintoto di equazione \(y=\sqrt{\frac{2}{3}}x\).

2) Trova l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse \(x\) avente distanza focale uguale a \(\frac{10}{3}\) e un asintoto di equazione \(y=-\frac{3}{4}x\).

Grazie mille

Gli rispondo così:

Caro marcello,

nel primo caso, ricordando la relazione \(a^2+b^2=c^2\), e ricordando che le pendenze degli asintoti sono date da \(\pm\frac{b}{a}\), sapendo che \(c^2=25\) e \(\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{2}{3}}\), ricaviamo l’equazione richiesta:

\[\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\to {{b}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{2}}\to 25={{a}^{2}}+\frac{2}{3}{{a}^{2}}\to {{a}^{2}}=15\to {{b}^{2}}=10\to \]\[\to \frac{{{x}^{2}}}{15}-\frac{{{y}^{2}}}{10}=1\quad .\]

Nel secondo caso, ricordando che la distanza focale, se i fuochi sono sull’asse \(x\), è pari a \(2c\), si ha \(c^2=\frac{25}{9}\), e poiché \(\frac{b^2}{a^2}=\sqrt{\frac{9}{16}}\), segue che \({{a}^{2}}=\frac{16}{9}\) e \({{b}^{2}}=1\), per cui l’equazione richiesta è

\[\frac{9{{x}^{2}}}{16}-{{y}^{2}}=1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Jessica la seguente domanda:

Gentile professore,

sto risolvendo la seguente disequazione (Manuale blu di matematica 2.0, pag.614, n.680):

                                                   \[3\left( {{\log }_{3}}x+{{\log }_{x}}3 \right)\ge 10\]

ma non capisco, nella soluzione proposta, perchè \(x\) debba essere maggiore di \(1\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Jessica,

poste le condizioni \(x>0\wedge x\neq 1\), la disequazione risulta equivalente alla seguente disequazione fratta:

\[3\left( {{\log }_{3}}x+\frac{1}{{{\log }_{3}}x} \right)\ge 10\to \frac{3\log _{3}^{2}x-10{{\log }_{3}}x+3}{{{\log }_{3}}x}\ge 0\] il cui numeratore è positivo o nullo per  \(0<x<1\vee 1<x\le \sqrt[3]{3}\vee x\ge 27\), negativo per \(\sqrt[3]{3}<x<27\), mentre il denominatore è positivo per \(x>1\), negativo per \(0<x<1\), per cui l’insieme soluzione della disequazione  è dato da: \[1<x\le \sqrt[3]{3}\vee x\ge 27\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Caro professore,

ho questo problema (n.83, pag.87\(\alpha\), Manuale blu2.0 di matematica):

Si svolge una indagine statistica sui \(575\) alunni di un istituto tecnico commerciale diplomatisi negli ultimi cinque anni. Di essi \(305\) sono donne e \(270\) uomini. Inoltre, \(215\), di cui \(140\) donne e \(75\) uomini, hanno proseguito gli studi; \(234\), di cui \(94\) donne e \(140\) uomini, hanno trovato impiego presso aziende private; \(126\), di cui \(71\) donne e \(55\) uomini, lavorano presso enti pubblici. Si scelgono a caso due persone, perché possano essere intervistate dagli attuali alunni della scuola. Calcola la probabilità che:

a) siano due studenti; b) abbiano trovato un impiego, sapendo che sono uomini; c) non lavorino presso un ente pubblico, sapendo che sono due donne.

Come sono tra loro gli eventi: “aver trovato un impiego” e “essere uomini”?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

riassumiamo i dati in una tabella:

Immaginiamo di “estrarre” in successione due persone dall’insieme di \(575\), senza “reimmettere” la prima estratta. La probabilità dell’evento \(SS\): “entrambi gli estratti sono studenti” è quindi:        \[p\left( SS \right)=\frac{215}{575}\cdot \frac{214}{574}=0,1394\approx 14\%\quad .\]

Se diciamo \(LL\) l’evento: “entrambi gli estratti hanno trovato un impiego”, \(UU\) l’evento: “entrambi gli estratti sono uomini”, la probabilità (condizionata) dell’evento: “entrambi hanno trovato un impiego, sapendo che sono uomini”, cioè l’evento \(LL|UU\), si può calcolare come rapporto di due probabilità: \[p\left( LL|UU \right)=\frac{p\left( LL\cap UU \right)}{p\left( UU \right)}\quad .\]

La probabilità degli eventi \(LL\cap UU\): ”entrambi gli estratti hanno trovato un impiego et sono uomini” e \(UU\), si possono calcolare direttamente nel modo seguente: \[p\left( LL\cap UU \right)=\frac{195}{575}\cdot \frac{194}{574}=0,11462\approx 11,5\%\quad \quad p\left( UU \right)=\frac{270}{575}\cdot \frac{269}{574}=0,22005\approx 22\%\]per cui: \[p\left( LL|UU \right)=\frac{p\left( LL\cap UU \right)}{p\left( UU \right)}=\frac{0,11462}{0,22005}\approx 52\%\quad .\]

In modo analogo, detto \(NN|DD\) l’evento: “entrambi gli estratti non lavorano presso enti publlici, sapendo che sono donne”, possiamo ricavare:

 \[p\left( NN\cap DD \right)=\frac{236}{575}\cdot \frac{235}{574}=0,16803\approx 17\%\quad \quad p\left( DD \right)=\frac{305}{575}\cdot \frac{304}{574}=0,28093\approx 28\%\] per cui: \[p\left( NN|DD \right)=\frac{p\left( NN\cap DD \right)}{p\left( DD \right)}=\frac{0,16803}{0,28093}\approx 60\%\quad .\]

Gli eventi \(L\): “aver trovato un impiego” e \(U\): “essere uomini”,e gli eventi \(L|U\): “aver trovato un impiego, sapendo che si tratta di un uomo”, \(U|L\): “essere uomo, sapendo che si è trovato un impiego”, hanno le seguenti probabilità:

\[p\left( L \right)=\frac{360}{575}\approx 63\%\quad p\left( U \right)=\frac{270}{575}\approx 47\%\]\[p\left( L|U \right)=\frac{195}{270}\approx 72\%\ne p\left( L \right)\quad p\left( U|L \right)=\frac{195}{360}\approx 54\%\ne p\left( U \right)\]quindi gli eventi in questione si condizionano a vicenda, cioè sono dipendenti.

Massimo Bergamini

Ricevo da Stefania la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuta a calcolare questi integrali (n°410, 414, 420 pagW62, Corso base blu di Matematica Vol 5)?

\[\int{\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}dx\quad }\int{\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}dx\quad }\int{\frac{2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-x-1}dx}\quad .\]

Grazie!

Le rispondo così:

Cara Stefania,

poichè

\[\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}=\frac{\left( {{x}^{2}}+6x+9 \right)+\left( 2x+6 \right)+3}{{{x}^{2}}+6x+9}=1+\frac{2x+6}{{{x}^{2}}+6x+9}+\frac{3}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\]il primo integrale risulta:

\[\int{\frac{{{x}^{2}}+8x+18}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=x+\ln {{\left( x+3 \right)}^{2}}-\frac{3}{x+3}+c\quad .\]

Nel secondo caso, poichè\[\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}=\frac{{{x}^{2}}-6x+8+\frac{3}{2}\left( 2x-6 \right)+1}{{{x}^{2}}-6x+8}=1+\frac{3}{2}\frac{2x-6}{{{x}^{2}}-6x+8}-\frac{1}{2\left( x-2 \right)}+\frac{1}{2\left( x-4 \right)}\]l’integrale risulta: \[\int{\frac{{{x}^{2}}-3x}{{{x}^{2}}-6x+8}dx}=x+\frac{3}{2}\ln \left| \left( x-2 \right)\left( x-4 \right) \right|-\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-2 \right) \right|+\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-4 \right) \right|+c=\]\[=x+\ln \left| x-2 \right|+\ln {{\left( x-4 \right)}^{2}}+c\quad .\]

Nel terzo caso, cerchiamo \(A\), \(B\) e \(C\) tali che \[\frac{2{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\to \]\[\to A+B=2\wedge 2A+C=0\wedge A-B-C=2\to A=1,B=1,C=-2\]da cui \[\int{\frac{2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-x-1}dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx+}\int{\frac{1}{x+1}dx-2}\int{\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx=}\]\[=\ln \left| x-1 \right|+\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

la prego mi risolva questo quesito:

si consideri il triangolo \(ABC\) avente l’angolo in \(B\) di \(60^\circ\). Determinare l’ampiezza dell’angolo in \(A\) sapendo che, detta \(H\) la proiezione di \(A\) sulla retta \(BC\) vale la relazione: \[AC^2+BH^2=\frac{169}{64}BC^2\quad.\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

possiamo assegnare al lato \(AB\), senza perdere generalità, una lunghezza arbitraria, ad esempio \(AB=c=2\), per cui si ha che \(BH=1\) e \(AH=\sqrt{3}\). Posto \(a=BC\) e \(b=AC\), dal fatto che \(\cos A\hat{B}C=\frac{1}{2}\) e in conseguenza del teorema di Carnot e delle ipotesi, si ha: \[\frac{4+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{4a}=\frac{1}{2}\quad \wedge \quad {{b}^{2}}+1=\frac{169}{64}{{a}^{2}}\]per cui, sostituendo e risolvendo per \(a\), si ottiene: \[a=\frac{8\sqrt{589}-64}{105}\to CH=a-1=\frac{8\sqrt{589}-169}{105}\]da cui consegue che        \[\alpha =C\hat{A}B=B\hat{A}C+H\hat{A}C=30{}^\circ +\arctan \frac{8\sqrt{589}-169}{105\sqrt{3}}\approx 37,9{}^\circ \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

la prego, mi aiuti a risolvere questi quesiti:

1) Tra i settori circolari di uguale perimetro \(2p\) determinare quello di area massima.

2) Nel semicerchio di diametro \(AB=2r\) si inscriva il quadrilatero \(ABCD\) in modo tale che \(DC=r\) e la somma \(s=AC+BD\) delle lunghezze delle diagonali sia massima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, detto \(r\) il raggio del settore e \(2\alpha\) la misura in radianti dell’angolo al centro corrispondente, si ha \(2p=2r+2\alpha r\to r=\frac{p}{1+\alpha }\), e poiché l’area del settore è \(S=\alpha {{r}^{2}}=\frac{{{p}^{2}}\alpha }{{{\left( 1+\alpha  \right)}^{2}}}\), derivando e studiando zeri e segno della derivata, nei limiti \(\frac{p}{\pi +1}<r<p\), si ha:\[S'=\frac{{{p}^{2}}\left( 1-\alpha  \right)}{{{\left( 1+\alpha  \right)}^{3}}}=0\leftrightarrow \alpha =1\]

cioè il settore di perimetro \(2p\) che massimizza l’area è quello di raggio \(p/2\) che sottende un angolo di \(2\) radianti.

Nel secondo caso, posto \(x=D\hat{A}B\), con \(\pi/6\le x \le \pi/2\), si ha \(BD=2r\sin x\) e \(AC=2r\sin \left( \frac{2}{3}\pi -x \right)\), per cui: \[S=2r\left( \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x \right)=\frac{r}{2}\left( 3\sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\quad .\] Derivando e studiando zeri e segno della derivata, si ha: \[S'=\frac{r}{2}\left( 3\cos x-\sqrt{3}\sin x \right)=0\leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\to x=\frac{\pi }{3}\] cioè il massimo cercato si realizza quando il quadrilatero è un trapezio isoscele.

Massimo Bergamini

Ricevo da Giulia la seguente domanda:

Buongiorno professore,

sto avendo difficoltà con questo problema.

a) Trova l’equazione dell’ellisse, con centro nell’origine e i fuochi sull’asse \(x\), che ha eccentricità \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\) e un vertice in \((5; 0)\).

b) Considera il quadrato circoscritto all’ellisse con le diagonali sugli assi cartesiani e trova l’area del rettangolo che ha per vertici i punti di contatto dei lati del quadrato con l’ellisse.

c) Generalizza il risultato precedente con l’ellisse di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\), dimostrando che l’area del rettangolo è \(\frac{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Le rispondo così:

Cara Giulia,

posto che \(a=5\) e \(c=a\cdot e=\frac{5\sqrt{3}}{2}\), si ha \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=\frac{25}{4}\), per cui l’ellisse cercata ha equazione \({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=25\). Per rispondere ai punti seguenti, consideriamo per prima la questione più generale, applicandola poi al caso particolare. Il quadrato \(ABCD\) circoscritto all’ellisse \({{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\), avente le diagonali sugli assi, ha i lati appartenenti a rette dei fasci \(y=\pm x+q\), tangenti l’ellisse in punti simmetricamente disposti rispetto agli assi, cioè i vertici del rettangolo \(EFGH\) di cui si chiede l’area; è quindi sufficiente individuarne uno, ad esempio quello appartenente al primo quadrante,  per ricavare gli altri per simmetria. Consideriamo quindi la retta \(y=-x+q\) tangente in \(E\) all’ellisse: la condizione che determina \(q\), e quindi \(E\), è l’annullamento del discriminante dell’equazione

\[{{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{\left( -x+q \right)}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0\to \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}-2{{a}^{2}}qx+{{a}^{2}}{{q}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0\]cioè: \[{{a}^{4}}{{q}^{2}}-{{a}^{4}}{{q}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{q}^{2}}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{4}}=0\to {{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{q}^{2}} \right)=0\to q=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]

mentre il punto di tangenza ha coordinate: \[x=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\quad y=-x+q=\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\quad .\] Pertanto, l’area \(R\) del rettangolo è data dal quadruplo del prodotto delle coordinate di tale punto \(E\), cioè: \[R=\frac{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\quad .\]

In particolare, per \(a=5\) e  \(b=\frac{5}{2}\), si ha \(R=20\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Nadia la seguente domanda:

Salve,

non sto riuscendo a risolvere questi due integrali:

                            \[\int{x\ln \left( x-1 \right)dx\quad \quad }\int{\frac{x}{4{{x}^{2}}+4x+5}dx}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Nadia,

il primo integrale si può calcolare per parti:

\[\int{x\ln \left( x-1 \right)dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x-1 \right)-\frac{1}{2}\int{\frac{{{x}^{2}}}{x-1}dx=}\]\[=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x-1 \right)-\frac{1}{2}\int{\left( x+1 \right)dx-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}}dx=}\]\[=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln \left( x-1 \right)-\frac{1}{4}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln \left( x-1 \right)+c=\frac{{{x}^{2}}-1}{2}\ln \left( x-1 \right)-\frac{x\left( x+2 \right)}{4}+c\quad .\]

Il secondo integrale si può decomporre in questo modo:

\[\int{\frac{x}{4{{x}^{2}}+4x+5}dx}=\frac{1}{8}\int{\frac{8x+4}{4{{x}^{2}}+4x+5}dx-\frac{1}{2}}\int{\frac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+4}dx}=\]\[=\frac{1}{8}\ln \left| 4{{x}^{2}}+4x+5 \right|-\frac{1}{8}\int{\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+1}dx}=\]\[=\frac{1}{8}\ln \left| 4{{x}^{2}}+4x+5 \right|-\frac{1}{8}\arctan \left( x+\frac{1}{2} \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini