Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi dà un aiuto nell’ impostare questo problema?

Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2\), condurre le corde \(AC\) e \(BD\) tali che risulti: \(B\hat{A}C=2D\hat{B}A=2x\) e indicare con \(M\) il loro punto d’intersezione. Studiare e tracciare il grafico della funzione:        \[f\left( x \right)=\frac{AB}{2AM}+3\frac{DB}{MB}\]

indicando l’arco che si riferisce al problema.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

notiamo innanzitutto che, affinchè le corde \(AC\) e \(BD\) si intersechino, si deve avere \(3x\le \pi/2\), cioè \(0<x\le \pi/6\), quindi, utilizzando il teorema dei seni:\[\frac{AB}{\sin \left( \pi -3x \right)}=\frac{AM}{\sin x}=\frac{MB}{\sin 2x}\to AM=\frac{2\sin x}{\sin 3x},MB=\frac{2\sin 2x}{\sin 3x}\] per cui:

\[f\left( x \right)=\frac{\sin 3x}{2\sin x}+3\frac{\cos x\sin 3x}{\sin 2x}=\frac{2\sin 3x}{\sin x}\]

avendo utilizzato l’identità \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), e infine, utlizzando le identità \(\sin 3x=2\sin x\cos^x +\cos 2x\sin x\) e \(2\cos^ x=1+\cos 2x\), si ha: \[f\left( x \right)=4{{\cos }^{2}}x+2\cos 2x=4\cos 2x+2\quad 0<x\le \frac{\pi }{6}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore

ho i seguenti quesiti:

1) In una circonferenza di raggio \(r\) la corda \(AB\) misura \(\frac{6}{5}r\). Condotta per \(B\) la tangente alla circonferenza siano \(M\) ed \(N\) due punti di essa situati da parte opposta rispetto a \(B\) e tali che siano congruenti gli angoli \(M\hat{A}B\) e \(B\hat{A}N\). Determinare l’ampiezza dell’angolo \(B\hat{A}N\) in modo che il segmento \(MN\) misuri \(\frac{36\sqrt{3}}{11}r\).

2) In un triangolo \(ABC\) si sa che l’angolo di vertice \(C\) è doppio dell’angolo di vertice \(A\). Si sa inoltre che il rapporto tra l’area del triangolo \(ABC\) e quella del rettangolo avente le dimensioni uguali ad \(AC\) e alla bisettrice dell’angolo \(A\hat{C}B\) è uguale a \(3/8\). Poni \(B\hat{A}C=x\) e risolvi il problema.

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, osserviamo innanzitutto che, detto \(2\alpha\) l’angolo al centro sotteso dalla corda \(AB\), si deve avere \(2r\sin \alpha =6r/5\), da cui \(\sin \alpha =3/5\) e \(\cos \alpha =4/5\), e inoltre che \(A\hat{B}M=\alpha\). Posto \(a_1=MB\), \(a_2=BN\), \(n=AM\) e \(m=AN\), e posto che \(0<x<\alpha\), dal teorema dei seni applicato ai triangoli \(ABM\) e \(ABN\) si ricavano le seguenti uguaglianze: \[\frac{{{a}_{1}}}{\sin x}=\frac{6r}{5\sin \left( \alpha +x \right)}\to {{a}_{1}}=\frac{6r\sin x}{4\sin x+3\cos x}\]\[\frac{{{a}_{2}}}{\sin x}=\frac{6r}{5\sin \left( \alpha -x \right)}\to {{a}_{2}}=\frac{6r\sin x}{3\cos x-4\sin x}\] da cui:             \[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=\frac{36\sqrt{3}}{11}r\to 11\sin x\cos x=9\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x-16\sqrt{3}{{\sin }^{2}}x\to \]\[\to 16\sqrt{3}{{\tan }^{2}}x+11\tan x-9\sqrt{3}=0\to \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\to x=\frac{\pi }{6}\quad .\]

Nel secondo caso, posto che \(0<x<\pi/3\), e posto \(AC=b\), \(BC=a\), \(CD=d\), \(AB=c\), si osserva subito che \(AD=d\) e \(DB=c-d\), per cui, dal teorema della bisettrice: \[b:d=a:\left( c-d \right)\to \frac{c}{d}=\frac{a}{b}+1\quad .\]

Applicando il teorema dei seni al triangolo \(ABC\) si ha anche:\[\frac{a}{\sin x}=\frac{b}{\sin 3x}\to \frac{a}{b}=\frac{\sin x}{\sin 3x}\]e dall’ipotesi sul rapporto delle aree:\[\frac{bc\sin x}{2bd}=\frac{3}{8}\to \frac{c}{d}=\frac{3}{4\sin x}\quad .\]In conclusione, unendo le precedenti uguaglianze, si ha: \[\frac{3}{4\sin x}=\frac{\sin x}{\sin 3x}+1\to \sin 3x\left( 3-4\sin x \right)=4{{\sin }^{2}}x\to \]\[\to \sin x\left( 2{{\cos }^{2}}x+\cos 2x \right)\left( 3-4\sin x \right)=4{{\sin }^{2}}x\to 12{{\cos }^{2}}x-16{{\cos }^{2}}x\sin x-3=0\to \]\[\to 16{{\sin }^{3}}x-12{{\sin }^{2}}x-16\sin x+9=0\to \sin x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi }{6}\] essendo le altre soluzioni \(\sin x=\left( 1\pm \sqrt{73} \right)/8\) non accettabili.

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

Le chiedo un aiuto per questo problema:

Sia \(ABC\) un triangolo isoscele sulla base \(AB=2l\) e tale che \(\sin A\hat{B}C=\frac{4}{5}\). Condurre una semiretta di origine \(A\) che incontri in \(D\) il lato \(BC\) in modo che risulti :  \(DB + DK =m AB\), \(m\in \mathbb{R}\), essendo \(DK\) la distanza di \(D\) dal lato \(AC\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

posto che \(0\le x\le \alpha\), con \(\alpha=A\hat{B}C=B\hat{A}C\), \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\), \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\), per il teorema dei seni abbiamo:

\[DB=\frac{2l\sin x}{\sin \left( \alpha +x \right)}\quad DA=\frac{2l\sin \alpha }{\sin \left( \alpha +x \right)}\]

per cui: \[DB+DK=mAB\to \sin x+\sin \alpha \sin \left( \alpha -x \right)=m\sin \left( \alpha +x \right)\to \]\[\to \sin x+\frac{4}{5}\left( \frac{4}{5}\cos x-\frac{3}{5}\sin x \right)=m\left( \frac{4}{5}\cos x+\frac{3}{5}\sin x \right)\to \]\[\to \left( 13-15m \right)\sin x+4\left( 4-5m \right)\cos x=0\quad .\] Posto \(X=\cos x\), \(Y=\sin x\), si ha il sistema

\[\left\{ \begin{array}{lll} \left( 13-15m \right)Y+4\left( 4-5m \right)X=0\\ X^2+Y^2=1 \\ 3/5\le X \le 1, 0\le Y \le 4/5 \end{array} \right.\]

equivalente all’intersezione tra l’arco \(AB\) della circonferenza goniometrica e un fascio di rette di centro l’origine, “rotante” in senso antiorario al crescere del parametro \(m\), per cui si ricava che il problema ammette una e una sola soluzione accettabile per \[\frac{4}{5}\le m\le \frac{5}{6}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Rosy la seguente domanda:

Sia data la famiglia delle funzioni \(y=ax^3+bx\), con \(a\) e \(b\) costanti reali. Determina le funzioni passanti per i punti \((\pm 1;0)\) e tali che l’area della regione finita di piano delimitata dall’asse delle ascisse e dalla parte di grafico con \(x\in \left[ 0,1 \right]\) sia uguale a \(1/4\).

Le rispondo così:

Cara Rosy,

posto che il passaggio per i punti \((\pm 1;0)\) implica \(b=-a\), si tratta di porre la condizione   

\[\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( a{{x}^{3}}-ax \right)dx} \right|=\frac{1}{4}\]da cui:\[\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( a{{x}^{3}}-ax \right)dx} \right|=\left| a\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{0}^{1} \right|=\frac{\left| a \right|}{4}\to \frac{\left| a \right|}{4}=\frac{1}{4}\leftrightarrow a=\pm 1\]e quindi le funzioni cercate sono:\[{{y}_{1}}={{x}^{3}}-x\quad \quad {{y}_{2}}=-{{x}^{3}}+x\quad \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Gianluca la seguente domanda:

Caro professore,

ho il seguente quesito:

In un sacchetto ci sono \(5\) biglie blu e \(10\) verdi, in un secondo sacchetto ci sono \(7\) biglie blu e \(3\) verdi. Viene pescata a caso una biglia dal primo sacchetto e viene messa nel secondo. Qual è la probabilità di estrarre una biglia verde dal secondo sacchetto?

Gli rispondo così:

Caro Gianluca,

l’evento \(E\): “si estrae verde dal \(2^\circ\) sacchetto”, è unione di due eventi disgiunti, ciascuno intersezione di due eventi: \(E_1\): “si estrae blu dal \(1^\circ\) et si estrae verde dal \(2^\circ\)”, \(E_2\): “si estrae verde dal \(1^\circ\) et si estrae verde dal \(2^\circ\)”, le cui probabilità sono date dai seguenti prodotti:

\[p\left( {{E}_{1}} \right)=p\left( 1B\cap 2V \right)=p\left( 1B \right)\cdot p\left( 2V|1B \right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}=\frac{1}{11}\]\[p\left( {{E}_{2}} \right)=p\left( 1V\cap 2V \right)=p\left( 1V \right)\cdot p\left( 2V|1V \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{11}=\frac{8}{33}\]

per cui l’evento \(E\): “si estrae verde dal \(2^\circ\) sacchetto” ha la seguente probabilità:

\[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}}\cup {{E}_{2}} \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{1}{11}+\frac{8}{33}=\frac{1}{3}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuti a risolvere questo problema:

Data la funzione \(y=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}\):

a) studiarne le caratteristiche e disegnare il suo grafico;

b) determinare l’area compresa tra il grafico della funzione e il semiasse positivo delle ascisse;

c) calcolare il volume del solido che si ottiene effettuando una rotazione completa della superficie del punto b) sia intorno all’asse delle \(x\) che a quello delle \(y\);

d) determinare l’area della regione piana contenuta nel primo quadrante compresa tra il grafico della funzione e la retta di equazione \(y=x\);

e) determinare il volume del solido avente per base la regione piana del punto b) sapendo che le sezioni che si ottengono tagliando il solido con un piano perpendicolare all’asse delle ascisse sono triangoli rettangoli isosceli con l’ipotenusa sul piano \(xy\).

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione, definita e continua nell’intervallo chiuso \(\left[ -2,2 \right]\), quindi limitata (teorema di Weierstrass), nulla nei punti \(x=0,\;x=\pm2\) e positiva per \(0<x<2\), è simmetrica rispetto all’origine del riferimento (dispari), e presenta un minimo e un massimo relativi nei punti \(\left( \pm \sqrt{2},\pm 2 \right)\), come si deduce dall’analisi della funzione derivata \[y'\left( x \right)=\frac{4-2{{x}^{2}}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}\] da cui si conclude anche che il grafico della funzione presenta tangenti verticali (\(y’\to \pm \infty\)) negli estremi del dominio. La derivata seconda \[y''\left( x \right)=\frac{2x\left( {{x}^{2}}-6 \right)}{{{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{3/2}}}\] si annulla e cambia segno in corrispondenza dell’unico punto di flesso, cioè \((0,0)\). L’area della regione limitata \(R\) compresa tra il grafico della funzione e il semiasse positivo delle ascisse è calcolabile come integrale definito:           \[{{S}_{R}}=\int\limits_{0}^{2}{x\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{2}{\left( -2x\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)dx=-\frac{1}{3}\left[ {{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{2}}=-\frac{1}{3}\left( -8 \right)=\frac{8}{3}\quad .\]

Il volume \(V_x\) del solido ottenuto ruotando \(R\) intorno all’asse \(x\) è dato dal seguente integrale:

\[{{V}_{x}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx=\pi \left[ \frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}{{x}^{5}} \right]_{0}^{2}}=\frac{64}{15}\pi \quad .\]

Per quanto riguarda il volume \(V_y\) del solido ottenuto ruotando \(R\) intorno all’asse \(y\), possiamo procedere in questo modo: ricavata la funzione inversa di \(y=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) nell’intervallo \(\left[ \sqrt{2},2 \right]\), che rappresenta l’arco del grafico dal punto \((2,0)\) al punto di massimo, integrando rispetto a \(y\) tra \(0\) e \(2\) si ottiene un volume \(V_1\), a cui va sottratto il volume \(V_2\) ottenuto dalla rotazione dell’arco del grafico compreso tra \((0,0)\) e il punto di massimo, cioè l’integrale tra \(0\) e \(2\), sempre rispetto a \(y\), della funzione inversa di \(y=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) nell’intervallo \(\left[ 0,\sqrt{2} \right]\):            \[y=x\sqrt{4-{{x}^{2}}}\to {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0\to {{x}^{2}}=2\pm \sqrt{4-{{y}^{2}}}\to \]\[\to x=\pm \sqrt{2+\sqrt{4-{{y}^{2}}}}\quad -2\le x\le -\sqrt{2}\vee \sqrt{2}\le x\le 2\]\[\to x=\pm \sqrt{2-\sqrt{4-{{y}^{2}}}}\quad -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\]       \[{{V}_{y}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 2+\sqrt{4-{{y}^{2}}} \right)dy-}\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 2-\sqrt{4-{{y}^{2}}} \right)dy=2\pi \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4-{{y}^{2}}}dy=}}\]\[=2\pi \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{4-{{y}^{2}}}dy=}8\pi \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt=}8\pi \cdot \frac{\pi }{4}=2{{\pi }^{2}}\quad .\]

La regione del primo quadrante compresa tra i grafici della funzione  e della retta \(y=x\) ha la seguente area \(S\):

\[S=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( x\sqrt{4-{{x}^{2}}}-x \right)dx=-\frac{1}{3}\left[ {{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{\sqrt{3}}}-\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}} \right]_{0}^{\sqrt{3}}=\frac{7}{3}-\frac{3}{2}=\frac{5}{6}\quad .\]

Infine, il volume \(V\) del solido costruito sulla regione \(R\) si può calcolare come integrale definito rispetto a \(x\) della funzione \(S\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)}{4}\), che rappresenta l’area del triangolo rettangolo isoscele avente per ipotenusa il segmento di ordinata \(y(x)\)

   \[V=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{64}{15}=\frac{16}{15}\quad .}\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

nei seguenti esercizi (n.80 e n.83 pag.303 di Matutor) ho incontrato delle difficoltà:

Calcola il volume dei solidi che hanno come base le regioni finite di piano delimitate dalle curve di equazioni assegnate e dall’asse \(x\) negli intervalli segnati a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate.

1) \(y=x^2-4,\quad\left[ -1;2 \right]\); triangoli equilateri.

2) \(y=\frac{3}{2}{{e}^{-\frac{x}{2}}},\quad \left[ 0;5 \right]\); trapezi con base maggiore doppia della minore e dell’altezza.

La ringrazio infinitamente!

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

nel primo caso il volume \(V_1\) del solido in questione, in base al principio di Cavalieri, si ottiene integrando tra \(-1\) e \(2\) la funzione \(S\left( x \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}\) che esprime l’area di un triangolo equilatero di lato pari all’ordinata \(y(x)\) intercettata dal piano secante:\[{{V}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\int\limits_{-1}^{2}{\left( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16 \right)dx=}\frac{\sqrt{3}}{4}\left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}-\frac{8}{3}{{x}^{3}}+16x \right]_{-1}^{2}=\]\[=\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32+\frac{1}{5}-\frac{8}{3}+16 \right)=\frac{153}{20}\sqrt{3}\quad .\]

Nel secondo caso, occorre precisare che i trapezi sono rettangoli con la base maggiore sul piano \(xy\), per cui la funzione che esprime l’area di una sezione in corrispondenza all’ascissa \(x\) è    \[S\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}{{e}^{-\frac{x}{2}}}+\frac{3}{4}{{e}^{-\frac{x}{2}}} \right)\cdot \left( \frac{3}{4}{{e}^{-\frac{x}{2}}} \right)=\frac{27}{32}{{e}^{-x}}\] per cui: \[{{V}_{2}}=\frac{27}{32}\int\limits_{0}^{5}{{{e}^{-x}}dx=}\frac{27}{32}\left[ -{{e}^{-x}} \right]_{0}^{5}=\frac{27}{32}\left( 1-\frac{1}{{{e}^{5}}} \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Filomena la seguente domanda:

Buonasera Professore,

non so proprio come risolvere questo problema:

Verificare l’uguaglianza applicando la definizione di limite:

                                      \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad .\]

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Filomena,

il limite in questione è equivalente alla seguente coppia di limiti: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad \quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\]che a loro volta esprimono sinteticamente le seguenti proposizioni:

\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{M}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x>{{M}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \]\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{N}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x<-{{N}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \quad .\]

Si tratta quindi, in entrambi i casi, di risolvere il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} {{3}^{\frac{1}{x}}}-1<\varepsilon  \\   {{3}^{\frac{1}{x}}}-1>-\varepsilon \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{x}<{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)  \\   \frac{1}{x}>{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)  \\ \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)  }{x}<0 \\   \frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)  }{x}>0\\ \end{array} \right.\] La prima delle due disequazioni è risolta per \(x<0\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\), mentre la seconda, tenendo conto che \({{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)<0\), è risolta per \(x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\vee x>0\), per cui, complessivamente, il sistema ha le seguenti soluzioni: \[x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\] e pertanto: nella verifica che \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \({{M}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\), mentre nella verifica che \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \(-{{N}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\).

Si noti che i valori assoluti di \({{M}_{\varepsilon }}\) e \({{N}_{\varepsilon }}\) sono tanto più “vicini a infinito” quanto più \(\varepsilon\) è vicino a \(0\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Licia la seguente domanda:

Buonasera Professore,

mi sto allenando per i quiz della maturità, ma non so svolgere questa domanda. Mi aiuta? Grazie mille!

Determinare la probabilità che, giocando quattro numeri su una ruota fissata del lotto, esca almeno un ambo.

Le rispondo così:

Cara Licia,

premesso che, per una fissata ruota del lotto, l’evento consiste nell’estrazione di una cinquina di numeri su \(90\), e che l’ordine di estrazione non interessa, l’insieme delle possibili estrazioni equiprobabili a priori è pari alle combinazioni di \(90\) oggetti presi \(5\) a \(5\), cioè \[{{C}_{90,5}}=\frac{90!}{85!5!}=43949268\quad .\]

Immaginiamo ora di scegliere \(4\) numeri, diciamo \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\) (ovviamente, per il nostro calcolo, qualsiasi altra scelta sarebbe equivalente): possiamo calcolare la probabilità dell’evento: \(E\)=”la cinquina estratta contiene almeno due dei numeri prescelti” a partire dalla probabilità dell’evento contrario, cioè \(\bar{E}\)=”la cinquina estratta contiene al massimo uno dei numeri scelti”, evento che, a sua volta, può essere pensato come unione di due eventi disgiunti: \({{\bar{E}}_{1}}\)=”la cinquina estratta non contiene nessuno dei numeri prescelti”, \({{\bar{E}}_{2}}\)=”la cinquina estratta contiene esattamente uno solo dei numeri prescelti”. Si avrà quindi, in base a noti teoremi di calcolo delle probabilità: \[p\left( E \right)=1-p\left( {\bar{E}} \right)=1-\left( p\left( {{{\bar{E}}}_{1}} \right)+p\left( {{{\bar{E}}}_{2}} \right) \right)\quad .\]  

La probablità di \({{\bar{E}}_{1}}\) è data dal rapporto tra il numero di cinquine che non contengono nessuno dei \(4\) numeri prescelti e il numero totale di cinquine possibili, cioè: \[p\left( {{{\bar{E}}}_{1}} \right)=\frac{{{C}_{86,5}}}{{{C}_{90,5}}}=\frac{86!}{81!5!}\cdot \frac{85!5!}{90!}=\frac{85\cdot 84\cdot 83\cdot 82}{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87}\approx 0,7924\quad .\]

La probablità di \({{\bar{E}}_{2}}\) è data dal rapporto tra il numero di cinquine che contengono solamente uno dei \(4\) numeri prescelti (cioè quattro volte il numero di cinquine che contengono un particolare numero tra quelli prescelti e non contengono gli altri tre, in pratica il numero di modi in cui si possono associare, ad ognuno dei quattro numeri, quartine di numeri tra gli \(86\) che restano avendo escluso il numero stesso e gli altri tre) e il numero totale di cinquine possibili, cioè: \[p\left( {{{\bar{E}}}_{2}} \right)=\frac{4\cdot {{C}_{86,4}}}{{{C}_{90,5}}}=\frac{86!}{82!4!}\cdot \frac{85!5!}{90!}=\frac{85\cdot 84\cdot 83\cdot 20}{90\cdot 89\cdot 88\cdot 87}\approx 0,1933\quad .\]

In conclusione: \[p\left( E \right)\approx 1-\left( 0,7924+0,1933 \right)\approx 0,0143\to p\left( E \right)\approx 1,43\%\quad .\]

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

avrei delle difficoltà nel risolvere questo esercizio:

Si determini l’insieme di definizione e studio segno della seguente funzione :

      \[f(x)=\left( 2-{{e}^{x}}+2\sqrt{\left| {{e}^{x}}-1 \right|} \right)\cdot \ln \left| \frac{2}{\pi }\arcsin \frac{x}{x-1} \right|\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

riguardo al dominio, osserviamo innanzitutto che il fattore tra parentesi che precede il logaritmo è definito per ogni \(x\) reale, pertanto eventuali limitazioni si hanno solo a causa dell’argomento del logaritmo stesso, che possiamo riscrivere come\[\ln \left( \frac{2}{\pi }\left| \arcsin \frac{x}{x-1} \right| \right)\] per cui risulta chiaro che la condizione di esistenza di \(f(x)\) equivale alla seguente:\[\arcsin \frac{x}{x-1}\ne 0\to -1\le \frac{x}{x-1}\le 1\wedge x\ne 0\]cioè: \[\frac{2x-1}{x-1}\ge 0\wedge \frac{1}{x-1}\le 0\wedge x\ne 0\to x\le \frac{1}{2}\wedge x\ne 0\]pertanto il dominio della funzione è l’insieme \[{{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\le \frac{1}{2},x\ne 0 \right\}\quad .\]

Per quanto riguarda il segno, osserviamo che il fattore tra parentesi è strettamente positivo per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), in quanto \(2-{{e}^{x}}>0\) per ogni \(x<\ln 2\approx 0,693\), mentre il logaritmo è sicuramente minore o uguale a \(0\), in quanto il suo argomento è compreso tra \(0\) (escluso) e \(1\) (compreso, ottenuto quando \(x=1/2\) e, al limite, per \(x\) tendente a \(-\infty\)), essendo \(0<\left| \arcsin \frac{x}{x-1} \right|\le \frac{\pi }{2}\). In conclusione:     \[se\quad x<\frac{1}{2}\wedge x\ne 0\to f\left( x \right)<0,\quad se\quad x=\frac{1}{2}\to f\left( x \right)=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi aiuta a risolvere i seguenti integrali (n.529 e n.533, pag.1991, Matematica Blu 2.0):

                     \[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx\quad \quad }\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}dx}\quad ?\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

il primo si può calcolare utilizzando una delle cosiddette sostituzioni di Eulero: \[\sqrt{4{{x}^{2}}-25}=t-2x\to 4{{x}^{2}}-25={{t}^{2}}+4{{x}^{2}}-4tx\to x=\frac{{{t}^{2}}+25}{4t}\] da cui segue:\[dx=\frac{{{t}^{2}}-25}{4{{t}^{2}}}dt\quad \quad \sqrt{4{{x}^{2}}-25}=t-\frac{{{t}^{2}}+25}{2t}=\frac{{{t}^{2}}-25}{2t}\] per cui l’integrale in questione diventa:

\[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx=}\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-25}\cdot\frac{{{t}^{2}}-25}{4{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t}dt=}\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+c\] cioè, in definitiva: \[\int{\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-25}}dx=\ln \sqrt{\left| 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}-25} \right|}}+c\quad .\]

La funzione integranda del secondo integrale è riconducibile alla derivata di un arcoseno in modo abbastanza diretto:\[\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-4+4}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{4-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}}dx}=\]\[=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \frac{x-2}{2} \right)}^{2}}}}dx}=\arcsin \left( \frac{x-2}{2} \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Daniele la seguente domanda:

Salve,

avrei da risolvere un esercizio che dice:

Un segmento di lunghezza \(7\) ha i suoi estremi, \(A\) e \(B\), che appartengono rispettivamente all’asse delle ascisse e all’asse delle ordinate. Inoltre, il punto \(P\) del segmento dista \(5\) dall’estremo B. Scrivi l’equazione del luogo descritto da \(P\) al variare di \(A\) e \(B\) sui due assi cartesiani.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Daniele,

poniamo \(t\) l’ascissa del punto \(A\), con \(-7\leq t\leq 7\), da cui consegue (Pitagora) che l’ordinata di \(B\) è necessariamente \(\pm \sqrt{49-{{t}^{2}}}\). Dalle seguenti proporzioni: \[{{x}_{A}}:{{x}_{P}}=7:5\quad {{y}_{P}}:{{y}_{B}}=2:7\] si ricava che \({{x}_{p}}=\frac{5}{7}t\) e \({{y}_{p}}=\pm \frac{2}{7}\sqrt{49-{{t}^{2}}}\), per cui, eliminando \(t\):             \[t=\frac{7}{5}x\to y=\pm \frac{2}{7}\sqrt{49-\frac{49}{25}{{t}^{2}}}\to\] \[\to\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]cioè il luogo è l’ellisse canonica di semiassi \(a=5\) e \(b=2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si risolvono questi quesiti?

1) La sezione di un certo solido con un piano perpendicolare all’asse \(x\) è un cerchio con gli estremi di un diametro sulle parabole \(y^2=9x\) e \(x^2=9y\). Calcolatene il volume.

2) Un foro di raggio \(1\;cm\) è trapanato in una sfera di raggio \(3\;cm\) in modo che l’asse del foro sia un diametro della sfera. Calcola il volume della parte rimanente di sfera.

3) Un solido ha la per base un’ellisse con l’asse maggiore lungo \(10\) e quello minore lungo \(8\). Calcolatene il volume se ogni sezione perpendicolare all’asse maggiore è un triangolo rettangolo isoscele con un cateto nel piano base.

4) La base di un solido è il segmento della parabola \(y^2=12x\) delimitato dal suo lato retto. Una sezione del solido perpendicolare all’asse della parabola è un quadrato. Calcolatene il volume.

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, posto che la regione compresa tra le due parabole nel piano \(xy\) è delimitata dagli archi di estremi \(A(9,9)\) e \(B(0,0)\) delle funzioni \(y=3\sqrt{x}\) e \(y=\frac{{{x}^{2}}}{9}\), si tratta di calcolare il seguente integrale:

 \[V=\frac{\pi }{4}\int\limits_{0}^{9}{{{\left( 3\sqrt{x}-\frac{{{x}^{2}}}{9} \right)}^{2}}dx=}\]\[=\frac{\pi }{4}\left[ \frac{9{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{5}}}{405}-\frac{4{{x}^{7/2}}}{21} \right]_{0}^{9}=\frac{6561}{380}\pi \quad .\]

Nel secondo caso, detto \(R\) il raggio della sfera e \(r\) il raggio del foro, si tratta in generale di calcolare il volume di un cilindro di raggio di base \(r\) e altezza \(2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\) e aggiungervi il volume di due segmenti sferici di altezza \(h=R-\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\) (volume del segmento sferico: \(\frac{\pi }{3}{{h}^{2}}\left( 3R-h \right)\)), per cui il volume complessivamente sottratto alla sfera è: \[{{V}_{0}}=2\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}+\frac{2}{3}\pi \left( R-\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)\left( 3R-R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)=\]\[=\frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right)\quad .\]

Il volume richiesto è quindi: \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}-\frac{4}{3}\pi \left( {{R}^{3}}-{{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right)=\frac{4}{3}\pi {{\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{4}{3}\pi \left( 27-16\sqrt{2} \right)\ c{{m}^{3}}\quad .\]

Nel terzo caso, poiché per un dato \(x\) tra  \(-5\) e \(5\) la sezione ha superficie \(S\left( x \right)=\frac{32}{25}\left( 25-{{x}^{2}} \right)\), il volume richiesto è dato da: \[V=\frac{64}{25}\int\limits_{0}^{5}{\left( 25-{{x}^{2}} \right)dx=\frac{64}{25}}\left[ 25x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{5}=\frac{640}{3}\quad .\]

Nell’ultimo caso, posto che il lato retto della parabola è la corda perpendicolare all’asse di simmetria passante per il fuoco \(F(3,0)\), si tratta di calcolare    \[V=48\int\limits_{0}^{3}{xdx=48}\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{3}=216\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Daniele la seguente domanda:

Buonasera, il testo di un esercizio dice:

indicato con \(A\) il punto di intersezione della retta \(x=2\) con l’asse delle ascisse e con \(B\) un punto generico sull’asse delle ordinate, prendi sulla retta data un punto \(C\) in modo che la distanza \(OB\) sia tripla della distanza \(AC\). Scrivi quindi l’equazione del luogo descritto dal punto \(P\), proiezione ortogonale di \(O\) sulla retta \(BC\), al variare di \(B\) sull’asse delle ordinate.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Daniele,

detta \(t\) l’ordinata di \(B\), si ha \(B(0,t)\) e \(C(2,t/3)\), per cui la retta \(BC\) ha equazione \(y=-\frac{t}{3}x+t\), e la perpendicolare a tale retta passante per \(O\) ha equazione \(y=\frac{3}{t}x\). Pertanto, salvo che per \(t=0\), per cui si ha \(P=O\), il punto \(P\) ha coordinate \[x=\frac{3{{t}^{2}}}{9+{{t}^{2}}}\quad \quad y=\frac{9t}{9+{{t}^{2}}}\] da cui, eliminando \(t\):            \[\frac{x}{y}=\frac{t}{3}\to x=\frac{27{{x}^{2}}/{{y}^{2}}}{9+9{{x}^{2}}/{{y}^{2}}}\to 9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=27x\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x=0\] che, completata del punto \(O(0,0)\), è l’equazione del luogo cercato: una circonferenza di centro \((3/2,0)\) e raggio \(3/2\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

aiutatemi a risolvere questo quesito:

determinare l’area del dominio \(D\) racchiuso dalla curva di equazioni parametriche

                        \[x=\cos t\quad \quad y=\sin \left( 2t \right)\quad \quad 0\le t\le \frac{\pi }{2}\quad .\]

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

poiché \(\sin \left( 2t \right)=2\sin t\cos t\) e \(\sin t=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}t}\), per \(0\le t\le \pi /2\), si ha:\[y=2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\quad \quad 0\le x\le 1\] e pertanto la regione \(D\) rappresentata dal sottografico di tale funzione ha area

\[{{S}_{D}}=\int\limits_{0}^{1}{2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=}-\int\limits_{0}^{1}{-2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=}-\left[ \frac{2}{3}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Salve professore,

ho delle difficoltà nel risolvere questo limite:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1 \right)\frac{{{x}^{3}}-\cos x+2x\sin x}{x{{e}^{x}}-4}{{2}^{x}}\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

modifichiamo l’espressione in modo da far comparire rapporti “notevoli”:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1 \right)\frac{{{x}^{3}}-\cos x+2x\sin x}{x{{e}^{x}}-4}{{2}^{x}}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1}{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}{^{\frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}{{x}^{3}}\left( 1-\cos x/{{x}^{3}}+2\sin x/{{x}^{2}} \right)}{x\sqrt{x}{{e}^{x}}\left( 1-4/\left( x{{e}^{x}} \right) \right)}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1}{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}{^{\frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1-\cos x/{{x}^{3}}+2\sin x/{{x}^{2}}}{1-4/\left( x{{e}^{x}} \right)} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{{{e}^{(1-\ln 2)x}}}=\]\[=1\cdot 1\cdot 1\cdot 0=0\]

essendo \({{e}^{\left( 1-\ln 2 \right)x}}\) un infinito di ordine superiore a \({{x}^{3/2}}\) nel limite per \(x\to +\infty\), in quanto esponenziale di base maggiore di \(1\), dal momento che \(1-\ln 2>0\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Antonio la seguente domanda:

Caro professore,

vorrei porle questo problema:

Dato l’insieme \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}/x=\frac{{{n}^{2}}-1}{n},n\in \mathbb{N}-\left\{ 0 \right\} \right\}\), verificare che l’insieme \(A\) è illimitato superiormente.

Come posso risolverlo?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Antonio,

potresti dimostrare che, comunque si consideri un reale \(M>0\), esiste un naturale \(\bar{n}\) tale che \(\frac{{{{\bar{n}}}^{2}}-1}{{\bar{n}}}>M\), e così è, poiché:

\[\frac{{{n}^{2}}-1}{n}>M\to \frac{{{n}^{2}}-Mn-1}{n}>0\to {{n}^{2}}-Mn-1>0\to \]

\[\to n<{{n}_{1}}=\frac{M-\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\vee n>{{n}_{2}}=\frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\]

La disequazione \(n<{{n}_{1}}\) non ha senso per \(n\in \mathbb{N}\), essendo \({{n}_{1}}<0\) per ogni  \(M>0\), mentre la disequazione \(n>{{n}_{2}}\) dimostra la tesi , con \(\bar{n}={{n}_{2}}=\frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\): per quanto grande sia \(M\), esiste un \(\bar{n}\) abbastanza grande da far sì che il relativo \(x\in A\) superi \(M\), e l’illimitatatezza superiore di \(A\) resta dimostrata.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

volevo farle vedere questi quesiti:

1) Data la parabola \(\gamma\) di equazione \(y^2=2x\) siano \(P\) il generico punto di \(\gamma\), \(t\) la tangente in \(P\) a \(\gamma\), \(Q\) l’intersezione di \(t\) con l’asse delle \(x\), \(S\) il simmetrico di \(Q\) rispetto a \(P\). Scrivere l’equazione del luogo descritto da \(S\) al variare di \(P\) su \(\gamma\).

2) Dati i punti \(O\) e \(A(a,0)\), determinare il luogo descritto dal punto \(P\) il quale varia in modo che nel triangolo \(OAP\) l’angolo in \(O\) risulta doppio di quello in \(P\).

3) Determinare il luogo descritto dai punti per i quali il prodotto delle distanze dai due punti \(A(a,0)\) e \(B(-a,0)\) è uguale ad \(a^2\).

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso, posto \(P\left( \frac{{{k}^{2}}}{2},k \right)\), con \(k\in \mathbb{R}\), un generico punto di \(\gamma\), si ha che la retta tangente \(t\) in \(P\) ha equazione \(y=\frac{1}{k}x+\frac{k}{2}\), per \(k\ne 0\) (per \(k=0\) la retta tangente in \(P=O\) è l’asse \(y\), e \(S=P=Q=O\)), per cui \(Q\left( -\frac{{{k}^{2}}}{2},0 \right)\) è l’intersezione di \(t\) con l’asse \(x\), e \(S\left( \frac{3{{k}^{2}}}{2},2k \right)\) è il simmetrico di \(Q\) rispetto a \(P\), ne consegue che il luogo descritto da \(S\) è tale che \[k=\frac{y}{2}\to x=\frac{3}{2}\frac{{{y}^{2}}}{4}\to x=\frac{3}{8}{{y}^{2}}\] cioè di nuovo una parabola con vertice nell’origine e l’asse  \(x\) come asse di simmetria.

Nel secondo caso, conviene operare in coordinate polari: posto \(P\left( r,2\theta  \right)\) il punto cercato, si può osservare, in base al teorema dei seni applicato al triangolo \(OAP\), che deve essere, supponendo \(a>0\): \[\frac{OP}{\sin 3\theta }=\frac{a}{\sin \theta }\to OP=r=a\frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }=\]\[=a\left( \cos 2\theta +2{{\cos }^{2}}\theta  \right)=a\left( 4{{\cos }^{2}}\theta -1 \right)\] con la condizione  \(-\pi \le 3\theta \le \pi \to -\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\); se poniamo \(\alpha =2\theta\), possiamo scrivere \[OP=r=a\left( 4{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-1 \right)=\]\[=a\left( 2\cos \alpha +1 \right),\quad -\frac{2}{3}\pi \le \alpha \le \frac{2}{3}\pi \] e possiamo ricavare un’equazione in termini di coordinate cartesiane eliminando il parametro \(\alpha\) dalle relazioni         \[x=r\cos \alpha =a\left( 2\cos \alpha +1 \right)\cos \alpha \quad y=r\sin \alpha =a\left( 2\cos \alpha +1 \right)\sin \alpha \]

da cui, tenendo conto che nei limiti del problema \(2\cos \alpha +1\ge 0\), si ha: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{\left( 2\cos \alpha +1 \right)}^{2}}\to \cos \alpha =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a}{2a}\] e quindi \[x=r\cos \alpha =\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\left( \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a}{2a} \right)\to 2ax={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-a\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \] \[\to a\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax\to \]\[\to {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4a{{x}^{3}}-4ax{{y}^{2}}-{{a}^{2}}{{y}^{2}}+3{{a}^{2}}{{x}^{2}}=0\] con la limitazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax\ge 0\) (cioè solo punti esterni alla circonferenza di centro \((a,0)\) e raggio \(a\)). La figura che si ottiene è una cardioide con una cuspide nell’origine, simmetrica rispetto all’asse \(x\).

L’ultimo luogo si ottiene ponendo \[\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( x+a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}={{a}^{2}}\] da cui, elevando al quadrato e sviluppando i calcoli: \[{{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}=0\] rappresentata dalla figura “a otto” sottostante (lemniscata di Bernoulli).

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gentile professore,

potrebbe aiutarmi a risolvere i seguenti esercizi (nn. 144 e 145 pag. 1453 Manuale blu 2.0 di Matematica):

Dal grafico della funzione \(y=f\left( x \right)\), deduci i limiti indicati, quando esistono.

a) \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) b) \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) c) \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) d) \(\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..\) .

a) \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) b) \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) c) \(\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..;\) d) \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=…..\) .

La ringrazio molto.

Le rispondo così:

Cara Paola,

nel primo caso, si ha:

a) \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) non esiste perché \(x=4\) è un punto isolato del dominio di \(f\left( x \right)\);

b) \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) non esiste come limite completo in quanto non si può definire il limite per \(x\to {{3}^{+}}\), poiché \(x=3\) non ammette intorni destri arbitrariamente piccoli che intersechino il dominio di \(f\left( x \right)\);

c) \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\), come suggerito dal grafico;

d) \(\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) non si può definire, in quanto \(x=5\) non ammette intorni sinistri arbitrariamente piccoli che intersechino il dominio di \(f\left( x \right)\).

Nel secondo caso, si ha:

a) \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) non esiste perché \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\);

b) \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\), come suggerito dal grafico;

c) \(\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\), come suggerito dal grafico;

d) \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\), come suggerito dal grafico (la funzione appare continua in \(x=1\)).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

questi altri quesiti recitano:

1) Trovare il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte dall’origine alle rette, ciascuna delle quali forma con gli assi coordinati un triangolo di area \(s\). Provare che tale luogo è una lemniscata.

2) Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali \(Oxy\) si consideri la circonferenza di equazione \(x^2+y^2-2x-3=0\). Sia \(AB\) una corda di questa circonferenza passante per l’origine delle coordinate e sia \(C\) il punto medio di \(AB\) al variare della retta \(AB\) attorno ad \(O\). Il punto \(P\) descrive una curva della quale si chiede l’equazione.

3) Dato il fascio di circonferenze tangenti all’asse delle ascisse nell’origine determinare il luogo degli estremi dei loro diametri passanti per il punto \(A(a,0)\).

Grazie mille.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso sia \(A(k,0)\) un generico punto dell’asse \(x\): il punto \(B(0,2s/k)\) sull’asse \(y\) è tale che il triangolo \(ABO\) ha area \(s\), per cui la famiglia delle rette \(AB\) è quella cercata, almeno per quanto riguarda le rette del primo e terzo quadrante: trovato il luogo \(\gamma\) definito da queste rette, il luogo \(\gamma^\prime\) simmetrico di \(\gamma\) rispetto all’asse \(x\), unito a \(\gamma\), fornirà il luogo cercato. Le equazioni della retta \(r\) per \(AB\) e della sua perpendicolare \(t\) passante per \(O\) sono \[r:y=-\frac{2s}{{{k}^{2}}}x+\frac{2s}{k}\quad \quad \quad t:y=\frac{{{k}^{2}}}{2s}x\] per \(k\ne 0\) (per \(k\to 0\) si ha la situazione limite di \(r\) e \(t\) coincidenti con gli assi coordinati e \(P\to O\)). Pertanto le coordinate di \(P\) sono \[x=\frac{4{{s}^{2}}k}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\quad \quad y=\frac{2s{{k}^{3}}}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\] da cui, sommando i quadrati e utilizzando l’uguaglianza \({{k}^{2}}=\frac{2sy}{x}\): \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4{{s}^{2}}{{k}^{2}}}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4{{s}^{2}}\left( 2sy/x \right)}{{{\left( 2sy/x \right)}^{2}}+4{{s}^{2}}}=\frac{2sxy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \]\[\to {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}=2sxy\quad x,y\ne 0\]che è l’equazione di una lemniscata. Per quanto osservato in precedenza, l’equazione completa del luogo cercato è \[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}=\pm 2sxy\quad x,y\ne 0\quad .\]

Nel secondo caso, posto che \(y=mx\) è il fascio delle rette passanti per l’origine del riferimento e che tali rette incontrano la circonferenza \(x^2+y^2-2x-3=0\) nei punti  \[A\left( \frac{1+\sqrt{4+3{{m}^{2}}}}{1+{{m}^{2}}},\frac{m\left( 1+\sqrt{4+3{{m}^{2}}} \right)}{1+{{m}^{2}}} \right)\quad \] \[B\left( \frac{1-\sqrt{4+3{{m}^{2}}}}{1+{{m}^{2}}},\frac{m\left( 1-\sqrt{4+3{{m}^{2}}} \right)}{1+{{m}^{2}}} \right)\] si ha per \(AB\) il punto medio \(C\) di coordinate  \[C\left( \frac{1}{1+{{m}^{2}}},\frac{m}{1+{{m}^{2}}} \right)\]per cui, sommando i quadrati delle coordinate di \(C\): \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{1}{1+{{m}^{2}}}\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x=0\]

equazione che rappresenta la circonferenza di centro \((1/2,0)\) e raggio \(1/2\), compreso il punto \(O(0,0)\), che si ottiene considerando anche la corda \(AB\) appartenente all’asse \(y\), corrispondente a \(m\to \infty \).   

Nel terzo caso, posto \(C\left( 0,k \right)\) un generico punto dell’asse \(y\), il fascio di circonferenze tangenti all’asse \(x\) in \(O(0,0)\) ha equazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ky=0\), mentre la retta \(r\) passante per \(C\) e per \(A(a,0)\), con \(a\ne 0\), ha equazione \(y=-\frac{k}{a}x+k\), per cui gli estremi \(B\) e \(D\) di un diametro della circonferenza appartenente a \(r\) hanno coordinate        \[x=\pm \frac{a\left| k \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{k}^{2}}}}\quad \quad y=k\mp \frac{k\left| k \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{k}^{2}}}}\] da cui, elevando al quadrato \(x\) e utilizzando l’uguaglianza \(k=\frac{ay}{a-x}\) (si osservi che \(x\ne a\) per ogni \(k\in \mathbb{R}\)):   \[{{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}}{{{\left( a-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \left( a+x \right){{y}^{2}}=\left( a-x \right){{x}^{2}}\quad \quad a\ne x\] che è l’equazione di una curva detta strofoide retta.

Massimo Bergamini