Un limite geometrico

Ricevo da Stefania la seguente domanda:
 
Caro professore,
vorrei sottoporle il seguente problema:
Sia dato un triangolo isoscele \(ABC\) di base \(AB\) pari a \(2k\) e altezza \(x\) variabile. Sulla base \(AB\) del triangolo costruisci il quadrato \(ABDE\), le cui diagonali si intersecano nel punto \(O\). Calcola il seguente limite:
                           \[\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}OC-2AC}{\sqrt{5}OA-DC}\quad .\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Stefania,
con riferimento alla figura, possiamo dire che:  \[OC=x+k\quad AC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}\quad OA=\sqrt{2}k\quad DC=\sqrt{{{\left( 2k+x \right)}^{2}}+{{k}^{2}}}\] per cui il limite da valutare è il seguente: \[\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\left( x+k \right)-2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}}{\sqrt{10}k-\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}}}\quad .\]
Il limite si presenta nella forma \(0/0\), e può essere risolto moltiplicando e dividendo la frazione per i fattori consentono di eliminare i radicali nelle espressioni dei due infinitesimi, cioè: \[\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\left( x+k \right)-2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}}{\sqrt{10}k-\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}}}=\]\[=\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{2}\left( x+k \right)-2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)\left( \sqrt{2}\left( x+k \right)+2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)\left( \sqrt{10}k+\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}} \right)}{\left( \sqrt{10}k-\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}} \right)\left( \sqrt{10}k+\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}} \right)\left( \sqrt{2}\left( x+k \right)+2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)}=\]\[=\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2{{\left( x+k \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right) \right)\left( \sqrt{10}k+\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}} \right)}{\left( 10{{k}^{2}}-5{{k}^{2}}-4kx-{{x}^{2}} \right)\left( \sqrt{2}\left( x+k \right)+2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)}=\]\[=\underset{x\to k}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\left( x-k \right)}^{2}}\left( \sqrt{10}k+\sqrt{5{{k}^{2}}+4kx+{{x}^{2}}} \right)}{\left( x-k \right)\left( x+5k \right)\left( \sqrt{2}\left( x+k \right)+2\sqrt{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)}=\frac{2\cdot 0\cdot 2\sqrt{10}k}{6k\cdot 4\sqrt{2}k}=0\quad .\]
Massimo Bergamini