Un problema di trigonometria

Ricevo da Dario la seguente domanda:
 
E’ dato il triangolo \(ABC\) in cui: \(\cos A\hat{B}C=\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(\cos C\hat{A}B=\frac{1}{9}\), \(AB=3l\). Determinare gli elementi incogniti del triangolo e i raggi delle circonferenze inscritta e circoscritta. Sulla bisettrice \(AS\) determinare un punto \(P\) in modo che risulti: \(AP+BP=kAB\).
 
Gli rispondo così:
 
Caro Dario,
con riferimento alla figura, posto \(A\hat{B}C=\beta\), \(C\hat{A}B=\alpha\), \(A\hat{C}B=\gamma\), utilizzando note formule goniometriche, si ha:
\[\sin \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{9},\ \sin \beta =\frac{2}{3},\ \sin \gamma =\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\frac{22}{27},\ \sin \frac{\alpha }{2}=\frac{2}{3},\ \cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\] da cui, tra l’altro, si deduce che \(\alpha/2=\beta\), cioè il triangolo \(ASB\) è isoscele di base \(AB\). Utilizzando il teorema dei seni si ottiene: \[AC=\sin \beta \frac{AB}{\sin \gamma }=\frac{27}{11}l,\ BC=\sin \alpha \frac{AB}{\sin \gamma }=\frac{18\sqrt{5}}{11}l\quad .\] Ricordando che il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto corrisponde al diametro \(2R\) della circonferenza circoscritta, e che il raggio \(r\) della circonferenza inscritta è pari al rapporto tra area e semiperimetro, si ha quindi: \[R=\frac{1}{2}\frac{AB}{\sin \gamma }=\frac{81}{4}l,\quad r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{AB\cdot AC\sin \alpha }{AB+BC+AC}=\frac{6\left( 2\sqrt{5}-3 \right)}{11}l\quad .\]
Posto quindi \(x=A\hat{B}P\), con \(0\le x\le \beta\), poiché, sempre per il teorema dei seni \[AP=\frac{AB\sin x}{\sin \left( x+\alpha /2 \right)}\quad PB=\frac{AB\sin \left( \alpha /2 \right)}{\sin \left( x+\alpha /2 \right)}\]l’equazione \(AP+BP=kAB\) diventa: \[\sin x+\sin \left( \alpha /2 \right)=k\sin \left( x+\alpha /2 \right)\to \left( 3-\sqrt{5} \right)\sin x-2k\cos x+2=0\quad .\]Posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\) si ottiene il sistema \[3Y+2-k\left( \sqrt{5}Y+2X \right)=0\quad \wedge \quad {{X}^{2}}+{{Y}^{2}}=1\quad \wedge \quad \frac{\sqrt{5}}{3}\le X\le 1,0\le Y\le \frac{2}{3}\] che (vedi figura), ammette una soluzione per \(1\le k\le 3\sqrt{5}/5\).
 
Massimo Bergamini