Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho ancora bisogno del suo aiuto col seguente problema (n.76, pag.24, Verso la seconda prova di matematica):
In figura è rappresentato il grafico della funzione \(g(x)=f’(x)\). I tratti \(AB\) e \(BC\) sono 
segmenti di retta, il tratto \(CDE\) appartiene a un arco di parabola con asse parallelo all’asse \(y\), e in \(C\) la funzione \(g(x)\) è derivabile.
a. Sapendo che \(f(0)=0\), calcola \(f(2)\) e \(f(4)\), quindi traccia un grafico plausibile della funzione \(f(x)\).
b. Ricava l’espressione analitica di \(g(x)\), quindi calcola \(f(8)\) e \(f(10)\).
c. Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) dell’arco di parabola \(CD\).
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Paola,
ricaviamo subito l’espressione analitica di \(g(x)\): \[g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x\quad\quad\quad 0\le x\le 2 \\ -2x+8\quad\quad 2<x<4 \\ \frac{1}{2}x^2-6x+16 \quad 4\le x\le 10 \end{array} \right.\] e da questa, integrando e raccordando le costanti in modo che \(f(x)\) risulti continua nell’intervallo \(\left[ 0;10 \right]\) e tale che \(f(0)=0\), ricaviamo l’espressione anlitica di \(f(x)\): \[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{2}x^2+2x\quad\quad\quad 0\le x\le 2 \\ -x^2+8x-6\quad\quad 2<x<4 \\ \frac{1}{6}x^3-3x^2+16x-\frac{50}{3} \quad 4\le x\le 10 \end{array} \right.\] da cui facilmente otteniamo: \[f\left( 2 \right)=6,\ f\left( 4 \right)=10,\ f\left( 8 \right)=\frac{14}{3},\ f\left( 10 \right)=10\quad .\]
Infine, il volume del solido richiesto è dato dal seguente integrale: \[V=\pi \int\limits_{4}^{8}{{{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x+16 \right)}^{2}}dx=\pi \left[ \frac{1}{20}{{x}^{5}}-\frac{3}{2}{{x}^{4}}-\frac{52}{3}{{x}^{3}}-96{{x}^{2}}+256x \right]_{4}^{8}}=\frac{128}{15}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini