Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
non ho ben capito come si risolvono i seguenti problemi di minimo e massimo (nn. 279, 281, 283, pag,1821, Matematica.blu 2.0):
1) Fra tutti i triangoli rettangoli la cui somma dei cateti misura \(b\), determina quello di ipotenusa minima.
2) Fra tutti i triangoli rettangoli nei quali la somma di un cateto e dell’ipotenusa misura \(2b\), determina quello di area massima.
3) Nell’insieme dei triangoli rettangoli inscritti in una semicirconferenza di raggio che misura \(r\), determina quello per il quale è massima la somma tra la proiezione di un cateto sull’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, detta \(x\) la misura di un cateto, con \(0<x<b\), \(b-x\) la misura dell’altro, l’ipotenusa risulta essere \(f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}-2bx+{{b}^{2}}}\): derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ottiene:
\[f'\left( x \right)=\frac{2x-b}{\sqrt{2{{x}^{2}}-2bx+{{b}^{2}}}}\to f'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{b}{2},b-x=\frac{b}{2}\] valori corrispondenti al minimo cercato.
Nel secondo caso, detta \(x\) la misura del cateto, con \(0<x<b\), \(2b-x\) la misura dell’ipotenusa, l’altro cateto risulta essere \(2\sqrt{{{b}^{2}}-bx}\), da cui l’area \(f(x)=x\sqrt{{{b}^{2}}-bx}\): derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ottiene: \[{f}'\left( x \right)=\frac{2{{b}^{2}}-3bx}{2\sqrt{{{b}^{2}}-bx}}\to {f}'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{2}{3}b,2b-x=\frac{4}{3}b\] valori corrispondenti al massimo cercato.
Nel terzo caso, detta \(x\) la misura di una proiezione di un cateto sull’ipotenusa, con \(0<x<2r\), \(2r-x\) la misura dell’altra proiezione, l’altezza relativa all’ipotenusa, per il 2° teorema di Euclide risulta essere \(\sqrt{2rx-x^2}\), da cui la somma \(f(x)=x+\sqrt{2rx-x^2}\): derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ottiene: \[{f}'\left( x \right)=\frac{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}+r-x}{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}}\to {f}'\left( x \right)=0\leftrightarrow {{x}^{2}}-4rx+{{r}^{2}}=0\to x=\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)r\] valore corrispondente al massimo cercato.
Massimo Bergamini