Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può aiutare a risolvere questi quesiti?
Dopo aver tracciato il grafico \(\gamma\) della funzione: \(\varphi \left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{2t+1}}dt}\), \(x\in \mathbb{R}\), rispondere ai seguenti quesiti:
1) verificare che la \(\varphi(x)\) è dotata di inversa \({{\varphi }^{-1}}\left( y \right)\);
2) tracciare il grafico \(\gamma_1\) della funzione\(y={{\varphi }^{-1}}\left( x \right)\).
Dopo aver stabilito le principali proprietà della funzione \(f(x)=|\sin x|\), verificare che \(\int\limits_{0}^{2\pi }{\left| \sin x \right|dx}=4\), e calcolare \(\forall k\in \mathbb{N}\) \(\int\limits_{0}^{2k\pi }{\left| \sin x \right|dx}\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
ancor prima di ricavarne l’espressione, possiamo dire che la funzione integrale \(\varphi \left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{2t+1}}dt}\) è sicuramente invertibile in quanto monotona crescente: infatti, in base al teorema fondamentale del calcolo integrale, la sua derivata è \(\varphi ‘\left( x \right)={{e}^{2x+1}}\), ovunque positiva.
Possiamo ricavare esplicitamente l’espressione di \(\varphi(x)\): \[\varphi \left( x \right)=\left[ \frac{1}{2}{{e}^{2t+1}} \right]_{0}^{x}=\frac{e}{2}\left( {{e}^{2x}}-1 \right)\] e anche della sua inversa: \[y=\frac{e}{2}\left( {{e}^{2x}}-1 \right)\to \frac{2y+e}{e}={{e}^{2x}}\to x=\ln \sqrt{2y+e}-\frac{1}{2}\]cioè, scambiando i nomi delle variabili: \[{{\varphi }^{-1}}\left( x \right)=\ln \sqrt{2x+e}-\frac{1}{2}\quad .\]Image may be NSFW.
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Riguardo alla funzione \(f(x)=|\sin x|\), essendo periodica di periodo \(\pi\), ed essendo \(\sin x \ge 0\) per \(0\le x \le \pi\), possiamo dire che: \[\int\limits_{0}^{2\pi }{\left| \sin x \right|dx}=2\int\limits_{0}^{\pi }{\sin x\,dx}=2\left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi }=2\cdot 2=4\] e in generale: \[\int\limits_{0}^{2k\pi }{\left| \sin x \right|dx}=2k\int\limits_{0}^{\pi }{\sin x\,dx}=4k,\quad \forall k\in \mathbb{N}\quad .\]
Massimo Bergamini
