Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi aiuta a risolvere il seguente quesito (n.20, pag.1998, Matematica.blu 2.0, vol.5)?
Fra le primitive di \(y=3{{\cos }^{3}}x\) trovare quella il cui diagramma passa per \(P\left( 0;5 \right)\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
integriamo la funzione \(y=3{{\cos }^{3}}x\) operando la sostituzione \(t=\sin x\), \(dt=\cos x\;dx\): \[F\left( x \right)=3\int{{{\cos }^{3}}x\,dx}=3\int{{{\cos }^{2}}x\cos x\,dx}=3\int{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)\cos x\,dx}=\]\[=3\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)\,dt}=3t-{{t}^{3}}+c=3\sin x-{{\sin }^{3}}x+c\] da cui, imponendo che sia \(F\left( 0 \right)=5\), si ha \(c=5\), cioè \[F\left( x \right)=3\sin x-{{\sin }^{3}}x+5\quad .\]
Massimo Bergamini