Ricevo da Daniele la seguente domanda:
Caro professore,
non sono riuscito a capire il seguente problema (n.179, pag.1122, Matematica.blu 2.0, vol 4):
Siano dati i punti \(A(0;0;-1)\) e \(A’(0;0;1)\).
a) Determina il luogo dei punti \(P\) dello spazio tali che \(\overline{PA}+\overline{PA’}=4\).
b) Verifica che le sezioni di tale superficie con i piani \(Oxz\) e \(Oyz\) sono congruenti.
c) Trova l’equazione della curva che risulta dall’intersezione della superficie con il piano \(z=-1\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Daniele,
imponiamo la condizione richiesta al generico punto \(P(x;y;z)\):
\[\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}=4\to \]
\[\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16-8\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\to \]\[\to 2z=16-8\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}-2z\to \]\[\to 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}=4-z\to \]\[\to 4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16+{{z}^{2}}-8z\to \]\[\to 4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}=12\to \frac{{{x}^{2}}}{3}+\frac{{{y}^{2}}}{3}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1\]
cioè la superficie di un ellissoide.
Le intersezioni di tale superficie con i piani \(Oxz\) e \(Oyz\) si ottengono ponendo rispettivamente \(y=0\) e \(x=0\) nell’equazione, ottenendo le ellissi congruenti \[\frac{{{x}^{2}}}{3}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1\quad \quad \frac{{{y}^{2}}}{3}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1\] aventi semiassi \(\sqrt{3}\) e \(2\).
Posto infine \(z=-1\) nell’equazione, si ha la curva di equazione:\[4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-9=0\] che rappresenta, nel piano \(z=-1\), una circonferenza centrata in \((0;0;-1)\) e con raggio \(r=\frac{3}{2}\).
Massimo Bergamini