Ricevo da Maria Rosaria la seguente domanda:
Non riesco a calcolare il volume richiesto dal seguente esercizio:
Il profilo di uno stagno può essere descritto, in un piano cartesiano, da una curva chiusa costituita da due tratti di parabola di equazioni rispettivamente \(y=-x^2+4x\) e \(y=2x^2-8x\). La profondità dello stagno può essere modellizzata, punto per punto, dalla funzione \(h\left( x \right)=\frac{1}{x+1}\). Calcola il volume d’acqua, espresso in litri, supponendo che l’unità di misura del sistema di riferimento sia il metro.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Maria Rosaria,
possiamo pensare lo stagno come un solido formato dalla sovrapposizione lungo l’asse \(x\), nell’intervallo \(0\le x\le 4\), di “fogli” rettangolari aventi per dimensioni la differenza fra le ordinate delle due parabole e il valore di \(h(x)\) in quel punto, cioè rettangoli di superficie \[S\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4x-\left( 2{{x}^{2}}-8x \right)}{x+1}=\frac{-3{{x}^{2}}+12x}{x+1}\ {{m}^{2}}\quad .\]
Pertanto, il volume d’acqua dello stagno è dato dall’integrale seguente: \[V=\int\limits_{0}^{4}{S\left( x \right)dx}=-3\int\limits_{0}^{4}{\frac{{{x}^{2}}-4x}{x+1}dx}=\]\[=-3\int\limits_{0}^{4}{\left( x-5 \right)dx-15}\int\limits_{0}^{4}{\frac{1}{x+1}dx=}\]\[=-3\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}-5x \right]_{0}^{4}-15\left[ \ln \left| x+1 \right| \right]_{0}^{4}=3\left( 12-5\ln 5 \right)\ {{m}^{3}}=\]\[=3\left( 12-5\ln 5 \right)\cdot {{10}^{3}}\ lt\quad .\]
Massimo Bergamini