Ricevo da Giorgio la seguente domanda:
Gentile professor Bergamini,
nell’ultimo compito sul calcolo combinatorio c’è stato questo problema.
Un certo compito inizia alle \(14:00:00\) e termina alle \(16:00:00\). Durante lo svolgimento, l’ora è costantemente indicata da un orologio digitale a \(6\) cifre (\(2\) per le ore, \(2\) per i minuti, \(2\) per i secondi). Determinare per quanti secondi, durante il compito, le \(6\) cifre indicate dall’orologio sono diverse.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giorgio,
consideriamo l’ora che va dalle \(14:00:00\) alle \(15:00:00\): i secondi di quest’ora in cui le cifre sono sono diverse sono tanti quanti quelli dell’ora successiva, pertanto si tratterà poi di raddoppiare il numero trovato. Cominciamo col contare i modi di inserire una cifra nel posto delle decine dei minuti: abbiamo \(4\) possibili scelte, essendo esclusi l’\(1\) e il \(4\) e le cifre al di sopra del \(5\). Per il posto delle unità dei minuti si hanno \(4\) possibilità se si sceglie una cifra tra quelle maggiori di \(5\), \(3\) possibilità se si sceglie una cifra tra quelle minori o uguali a \(5\) rimaste; nel primo caso, si hanno poi \(3\) possibilità per la cifra delle decine dei secondi, e di conseguenza o \(3\) o \(2\) possibilità per la cifra delle unità dei secondi, a seconda che sia maggiore di \(5\) o minore di \(5\); nel secondo caso, si hanno poi \(2\) possibilità per la cifra delle decine dei secondi, e di conseguenza o \(4\) o \(1\) possibilità per la cifra delle unità dei secondi, a seconda che sia maggiore di \(5\) o minore di \(5\). Riassumiamo quanto detto con la seguente operazione: \[4\cdot \left[ 4\cdot 3\left( 3+2 \right)+3\cdot 2\left( 4+1 \right) \right]=4\cdot \left[ 60+30 \right]=360\] quindi, moltiplicando per due, si avranno in totale \(720\) secondi in cui l’orologio riporterà cifre tutte diverse nell’arco delle due ore considerate.
Massimo Bergamini