Quantcast
Channel: L'esperto di Matematica – Zanichelli Aula di scienze
Viewing all articles
Browse latest Browse all 750

Esposizione di quadri

$
0
0

Ricevo da Paola la seguente domanda:

 

Gentilissimo professor Bergamini,

non riesco a risolvere il seguente esercizio (pag.9, n.25, Verso la seconda prova di matematica):

figura1102

Un quadro è appeso alla parete sopra al livello dell’osservatore come indicato in figura.

a. Esprimi in funzione di \(x\) l’angolo \(\theta\) sotteso da \(a+b\) e l’angolo \(\beta\) sotteso da \(b\).

Calcola poi:

b. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }\);

c. \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Paola,

si ha direttamente:

                                   \[\tan \theta =\frac{a+b}{x}\to \theta =\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)\]

\[\tan \beta =\frac{b}{x}\to \theta =\arctan \left( \frac{b}{x} \right)\]

per cui, applicando il teorema di de l’Hopital:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)}{\arctan \left( \frac{b}{x} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a+b}{{{x}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}}\cdot \frac{{{x}^{2}}+b}{b}=\]\[=\frac{a+b}{b}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+b}{{{x}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\frac{a+b}{b}\]

e infine:

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)}{\arctan \left( \frac{b}{x} \right)}=\frac{\pi /2}{\pi /2}=1\quad .\]

Massimo Bergamini


Viewing all articles
Browse latest Browse all 750

Trending Articles



<script src="https://jsc.adskeeper.com/r/s/rssing.com.1596347.js" async> </script>