Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentilissimo professor Bergamini,
non riesco a risolvere il seguente esercizio (pag.9, n.25, Verso la seconda prova di matematica):
Un quadro è appeso alla parete sopra al livello dell’osservatore come indicato in figura.
a. Esprimi in funzione di \(x\) l’angolo \(\theta\) sotteso da \(a+b\) e l’angolo \(\beta\) sotteso da \(b\).
Calcola poi:
b. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }\);
c. \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
si ha direttamente:
\[\tan \theta =\frac{a+b}{x}\to \theta =\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)\]
\[\tan \beta =\frac{b}{x}\to \theta =\arctan \left( \frac{b}{x} \right)\]
per cui, applicando il teorema di de l’Hopital:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)}{\arctan \left( \frac{b}{x} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a+b}{{{x}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}}\cdot \frac{{{x}^{2}}+b}{b}=\]\[=\frac{a+b}{b}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+b}{{{x}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\frac{a+b}{b}\]
e infine:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\theta }{\beta }=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan \left( \frac{a+b}{x} \right)}{\arctan \left( \frac{b}{x} \right)}=\frac{\pi /2}{\pi /2}=1\quad .\]
Massimo Bergamini