Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
ho dei dubbi su questa funzione (pag.1561, n.884, Matematica.blu 2.0), di cui si deve tracciare il grafico probabile; potrebbe aiutarmi?
\[y={{\log }_{2}}\frac{x-1}{x-4}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
la funzione è definita, continua e derivabile nel dominio \({{D}_{f}}=\left] -\infty ,1 \right[\cup \left] 4,-\infty \right[\), non è mai nulla, ed è positiva per \(x>4\). L’intersezione con l’asse \(y\) avviene nel punto \((0;-2)\). Si hanno i seguenti limiti: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\frac{x-1}{x-4}={{\log }_{2}}\left( 1 \right)=0\]\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\frac{x-1}{x-4}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}t=-\infty \]\[\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\frac{x-1}{x-4}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}t=+\infty \]
per cui il grafico della funzione presenta un asintoto orizzontale, l’asse \(x\), e due asintoti verticali, le rette \(x=1\) e \(x=4\). L’andamento più probabile è di tipo monotòno decrescente in entrambi i sottointervalli del dominio.
Massimo Bergamini
