Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Gentile professore,
vorrei chiederle un aiuto in merito al seguente problema:
Sia \(g(x)\) una funzione così definita:
\[g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{{{x}^{2}}+1}\quad x\le 0 \\ 1-x\ln^2 x\quad x>0 \end{array} \right.\quad .\]
Determinare le tangenti al grafico della funzione \(g(x)\) nei punti \(x=0\) e \(x=1\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
verifichiamo innanzitutto che la funzione è continua per ogni \(x\) reale, compreso \(x=0\), infatti, utilizzando più volte il teorema di de L’Hospital per la forma \(\frac{\infty }{\infty }\): \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-x{{\ln }^{2}}x \right)=1-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\ln }^{2}}x}{{{x}^{-1}}}=1+2\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{x}^{-1}}}=1-2\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x=1\] da cui la continuità, essendo \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}+1}=1=g\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\quad .\]
Tuttavia, \(g(x)\) non è derivabile in \(x=0\), essendo: \[g’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{2x}{({{x}^{2}}+1)^2}\quad x< 0 \\ 1-x\ln^2 x\quad x>0 \end{array} \right.\] da cui:\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g'\left( x \right)=0\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g'\left( x \right)=-\infty\]pertanto, in \(x=0\) il grafico della funzione presenta una semi-cuspide, con semiretta tangente sinistra la retta \(y=1\), semiretta tangente destra l’asse \(y\).
La retta \(y=1\) è tangente al grafico di \(g(x)\) anche nel punto di ascissa \(x=1\), essendo infatti \(g\left( 1 \right)=1\) e \(g’\left( 1 \right)=0\).
Massimo Bergamini