Ricevo da Alessia la seguente domanda:
Salve,
dovrei risolvere questo esercizio ma non ne sono capace:
Scrivi l’equazione della retta corrispondente della retta \(r:\;y=2x\) in una rotazione di \(135\) gradi intorno all’origine.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Alessia,
la rotazione \(R\) in questione è definita dalle seguenti equazioni:
\[R:\left\{ \begin{array}{ll} x’=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y \\ y’=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y \end{array} \right.\] pertanto, per ottenere l’equazione della retta \(r’\) dobbiamo sostituire alle variabili \(x\) e \(y\) nell’equazione di \(r\) le espressioni di \(x’\) e \(y’\) associate alla trasformazione inversa \(R^{-1}\), cioè:
\[R^{-1}:\left\{ \begin{array}{ll} x’=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y \\ y’=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y \end{array} \right.\] per cui si ha: \[r':-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y=2\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y \right)\to \]\[\to y=\frac{1}{3}x\quad .\]
Massimo Bergamini