Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho delle difficoltà nei seguenti esercizi:
1) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x-\sqrt{\frac{4}{x}}}-\sqrt{x+1} \right)\left( {{x}^{2}}+\ln x \right)}{\ln \left( x+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}\quad .\]
2) \[\int{\frac{{{e}^{x}}\sqrt{{{e}^{x}}-1}+1}{{{e}^{x}}+8}dx\quad .}\]
3) Date le seguenti successioni: \({{a}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n-1}\), con \(n>1\), e \({{b}_{n}}={{e}^{\frac{2}{n}}}-1\), con \(n>0\), dire se:
a) \(a_n\) è regolare;
b) \(a_n\cdot b_n\) è limitata inferiormente;
c) \(b_n\) è monotona.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
riguardo al limite, che si presenta come un prodotto tra una forma \(+\infty-\infty\) e una forma \(\infty/\infty\), possiamo mettere in evidenza i vari ordini di infinito dei diversi fattori con la seguente manipolazione algebrica:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x-\sqrt{4/x}}-\sqrt{x+1} \right)\left( {{x}^{2}}+\ln x \right)}{\ln \left( x+1/\sqrt{x} \right)}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{x}^{2}}\left( 1+2/\sqrt{x} \right)\left( 1+\ln x/{{x}^{2}} \right)}{\sqrt{x}\ln x\left( \sqrt{1-2/\left( x\sqrt{x} \right)}+\sqrt{1+1/x} \right)\left( 1+\ln \left( 1+1/\left( x\sqrt{x} \right) \right)/\ln x \right)}=\] \[=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\ln x}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1+2/\sqrt{x} \right)\left( 1+\ln x/{{x}^{2}} \right)}{\left( \sqrt{1-2/\left( x\sqrt{x} \right)}+\sqrt{1+1/x} \right)\left( 1+\ln \left( 1+1/\left( x\sqrt{x} \right) \right)/\ln x \right)}=-\infty \cdot \left( \frac{1}{2} \right)=-\infty \quad .\]
Riguardo all’integrale, posto \(t={{e}^{x}}\), e quindi \(dx=dt/t\) si ha: \[\int{\frac{{{e}^{x}}\sqrt{{{e}^{x}}-1}+1}{{{e}^{x}}+8}dx}=\int{\frac{t\sqrt{t-1}+1}{t\left( t+8 \right)}dt=}\int{\frac{\sqrt{t-1}}{t+8}dt+\int{\frac{1}{t\left( t+8 \right)}dt=}}\]\[=\int{\frac{\sqrt{t-1}}{t+8}dt+\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t}dt-\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t+8}dt}=}}\int{\frac{\sqrt{t-1}}{t+8}dt+}\frac{1}{8}\ln \left( \frac{t}{t+8} \right)\] e infine, posto \(p=\sqrt{t-1}\), \(dt=2pdp\), si ha: \[\int{\frac{{{e}^{x}}\sqrt{{{e}^{x}}-1}+1}{{{e}^{x}}+8}dx}=2\int{\frac{{{p}^{2}}}{{{p}^{2}}+9}dp}+\frac{1}{8}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+8} \right)=\]\[=2\int{dp}-\frac{1}{3}\int{\frac{1/3}{1+{{\left( p/3 \right)}^{2}}}}dp+\frac{1}{8}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+8} \right)=\]\[=2\sqrt{{{e}^{x}}-1}-6\arctan \left( \frac{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}{3} \right)+\frac{x}{8}-\frac{1}{8}\ln \left( {{e}^{x}}+8 \right)+c\quad .\]
Infine, riguardo alle successioni \(a_n\) e \(b_n\), si osserva che \(a_n\) è regolare, cioè ammette limite per \(n\to +\infty\), e tale limite è \(0\), in quanto: \[\forall \varepsilon >0\ \exists {{n}_{\varepsilon }}/se\ n>{{n}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n-1} \right|<\varepsilon \] infatti: \[\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n-1} \right|<\varepsilon \to \frac{1}{n-1}<\varepsilon \to n>1+\frac{1}{\varepsilon }\to {{n}_{\varepsilon }}=1+\left[ 1+\frac{1}{\varepsilon } \right]\quad .\] La successione \[{{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{e}^{2/n}}-1 \right)}{n-1}\] ha anch’essa limite \(0\), essendo \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2/n}}=1\), quindi è limitata inferiormente, e \(\min \left\{ {{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}} \right\}=-\frac{{{e}^{2/3}}-1}{2}\), come si deduce dal fatto che la successione \(b_n\) è a termini positivi e monotona decrescente: \[{{e}^{2/(n+1)}}-1<{{e}^{2/n}}-1\to {{e}^{2/(n+1)}}<{{e}^{2/n}}\to \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\to n<n+1\quad \forall n\] per cui risulta monotona decrescente anche la successione \(\left| {{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}} \right|\), e il suo termine minore è quindi il primo termine negativo nella successione a segni alternati \({{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}\), cioè \({{a}_{3}}\cdot {{b}_{3}}\).
Massimo Bergamini