Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Gentile professore,
le vorrei chiedere un aiuto in merito a tale dimostrazione:
Sia \(a_n\) una successione a termini non negativi; verificare che \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\Leftrightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}^{2}={{l}^{2}}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
assumiamo già dimostrato il fatto, valido in generale per le funzioni in un dato limite \(x\to x_0\) e in particolare per le successioni nel limite \(n\to +\infty\), che il limite del prodotto di due funzioni sia il prodotto dei limiti, purchè non si presenti il prodotto tra un infinitesimo e un infinito (forma indeterminata) (che nel nostro caso è escluso, essendo \(l\) finito) e assumiamo dimostrato l’inverso del teorema della permanenza del segno che, per l’ipotesi \(a_n\ge 0\), implica \(l\ge 0\); allora possiamo procedere in questo modo: \[1)\quad\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}^{2}={{l}^{2}}\quad :\]
infatti \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}^{2}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}}\cdot {{a}_{n}} \right)=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right)\cdot \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right)=l\cdot l={{l}^{2}}\]
\[2)\quad\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}^{2}={{l}^{2}}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\quad :\]
infatti \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}^{2}={{l}^{2}}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right)\cdot \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right)={{l}^{2}}\Rightarrow {{\left( \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right) \right)}^{2}}={{l}^{2}}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{n}} \right)=\pm l\] ma essendo, come si ricordava, \(l\ge 0\), ed essendo necessariamente, per il teorema della permanenza del segno, \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\ge 0\] si ha \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\quad .\]
Massimo Bergamini