Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
la prego di aiutarmi a risolvere questo quesito:
Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), traccia una corda \(CD\) parallela al diametro, con \(C\) più vicino a \(B\). Determina l’ampiezza dell’angolo \(D\hat{A}B=x\) in modo che il perimetro del trapezio \(ABCD\) sia uguale a \(4kr\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, osserviamo il triangolo isoscele \(AOD\), e ricaviamo: \[AB=2r\quad \quad AD=BC=2OA\cos x=2r\cos x\] \[DC=2DM=2HO=2\left( AO-AH \right)=\]\[=2\left( r-AD\cos x \right)=2r-4r{{\cos }^{2}}x\]
per cui, l’equazione richiesta risulta: \[{{\cos }^{2}}x-\cos x+k-1=0\quad \quad \frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}\quad .\]
Posto \(X=\cos x\), \(Y=X^2\), il problema si traduce nel seguente sistema, che rappresenta l’intersezione di un arco di parabola con un fascio improprio di rette nel piano \(XY\):
\[\left\{ \begin{array}{lll} Y=X^2 \\ Y-X+k-1=0 \\ 0\le X \le \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\]
le cui soluzioni sono rappresentate nella figura a fianco: se ne ricava che il problema ammette una soluzione per \(1\le k< \frac{\sqrt{2}+1}{2}\), due soluzioni per \(\frac{\sqrt{2}+1}{2}\le k\le \frac{5}{4}\), coincidenti nel caso \(k=\frac{5}{4}\).
Massimo Bergamini