Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentile professore,
ci sono due limiti che non riesco a risolvere, sempre senza applicare De l’Hopital:
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{n}-{{3}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{2n}}\quad \quad \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}\left( 1-{{e}^{\frac{1}{n+2}}} \right)\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
nel primo caso osserviamo che, essendo l’esponente \(2n\) sempre pari, possiamo dire che \({{\left( \frac{1}{n}-{{3}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{2n}}={{\left( {{3}^{\frac{1}{n}}}-\frac{1}{n} \right)}^{2n}}\), cosicchè la base \({{3}^{\frac{1}{n}}}-\frac{1}{n}\) risulta positiva, tendente a \({{1}^{+}}\), da cui: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{n}-{{3}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{2n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+{{3}^{\frac{1}{n}}}-\frac{1}{n}-1 \right)}^{2n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-1}} \right)}^{2n}}=\] \[=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-1}} \right)}^{\frac{n}{n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-1}}} \right)}^{2n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-2}}=9{{e}^{-2}}=\frac{9}{{{e}^{2}}}\] avendo utilizzato i seguenti limiti, oltre al limite notevole \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}}=e\): \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-1}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{3}^{1/n}}-1-1/n}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty\] \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,2n\left( {{3}^{1/n}}-1 \right)-2=2\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{1/n}}-1}{1/n} \right)-2=2\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{3}^{t}}-1}{t} \right)=\ln 9-2\quad .\]
Nel secondo caso, posto \(t=\frac{1}{n+2}\): \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}\left( 1-{{e}^{\frac{1}{n+2}}} \right)=-\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{e}^{t}}-1 \right){{\left( 1-2t \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}}=-\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{e}^{t}}-1 \right)}{t}\cdot \underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1-2t \right)}^{2}}}{t}=-1\cdot \left( +\infty \right)=+\infty \quad .\]
Massimo Bergamini