Ricevo da Lorenzo la seguente domanda:
Spettabile professore,
ho tentato invano di risolvere questo problema di geometria analitica. Chiedo aiuto per cortesia.
Sia data una semicirconferenza di raggio unitario avente centro nell’origine degli assi cartesiani e posta nel semipiano delle ordinate positive. Indicato con \(A\) il punto in cui essa tocca il semiasse delle ascisse negative, traccia per \(A\) una retta \(AP\), con punto \(P\) generico della semicirconferenza. Scrivi le coordinate del punto \(Q\) di intersezione tra la retta \(AP\) e l’asse del segmento \(OP\) al variare della retta \(AP\). Determina la posizione di \(P\) affinché \(Q\) stia sull’asse delle ordinate. In questa posizione trova l’equazione della tangente \(t\) in \(P\) alla semicirconferenza. Calcola l’area del triangolo \(OBC\), dove \(B\) e \(C\) sono i punti di intersezione di \(t\) con gli assi cartesiani.
Gli rispondo così:
Caro Lorenzo,
possiamo caratterizzare la retta \(r\) passante per \(A(-1,0)\) e per un punto \(P\) della semicirconferenza attraverso il suo coefficiente angolare \(m\): \[r:\quad y=mx+m\quad m\ge 0\] e determinare le coordinate di \(P\) in funzione di \(m\) mettendo a sistema l’equazione di \(r\) con quella della semicirconferenza, cioè \(y=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\): \[{{m}^{2}}{{\left( 1+x \right)}^{2}}=1-{{x}^{2}}\to x=-1\quad \vee \quad x=\frac{1-{{m}^{2}}}{1+{{m}^{2}}}\] per cui: \[P\left( \frac{1-{{m}^{2}}}{1+{{m}^{2}}},\frac{2m}{1+{{m}^{2}}} \right)\quad .\]
Determiniamo l’equazione dell’asse \(a\) del segmento \(OP\) ricavando la perpendicolare ad \(OP\) passante per il suo punto medio: \[M\left( \frac{1-{{m}^{2}}}{2\left( 1+{{m}^{2}} \right)},\frac{m}{1+{{m}^{2}}} \right),\ {{m}_{a}}=-\frac{1}{{{m}_{OP}}}=\frac{{{m}^{2}}-1}{2m}\to \]\[\to a:\quad y=\frac{{{m}^{2}}-1}{2m}\left( x-\frac{1-{{m}^{2}}}{2\left( 1+{{m}^{2}} \right)} \right)+\frac{m}{1+{{m}^{2}}}\quad .\] Ricaviamo \(Q\) intersecando \(a\) e \(r\): \[\frac{{{m}^{2}}-1}{2m}x+\frac{{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4m\left( 1+{{m}^{2}} \right)}+\frac{m}{1+{{m}^{2}}}=mx+m\to \]\[\to 2\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( 1+{{m}^{2}} \right)x+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}=4{{m}^{2}}\left( 1+{{m}^{2}} \right)x+4{{m}^{4}}\to \]\[\to {{x}_{Q}}=\frac{1-3{{m}^{2}}}{2\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\quad {{y}_{Q}}=\frac{m\left( 3-{{m}^{2}} \right)}{2\left( 1+{{m}^{2}} \right)}\quad .\]
Poiché \(m=\frac{\sqrt{3}}{3}\) è il solo valore positivo di \(m\) per il quale si ha \(x_Q=0\), il punto \(P\) richiesto ha coordinate\[P\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\quad .\] La tangente \(t\) richiesta è la parallela ad \(a\) passante per \(P\) \[t:\quad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\left( x-\frac{1}{2} \right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}\] e poiché \(t\) incontra gli assi nei punti \(B\left( 2,0 \right)\) e \(C\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)\), l’area del triangolo \(OBC\) risulta \[{{S}_{OBC}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini