Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
volevo farle vedere questi quesiti:
1) Data la parabola \(\gamma\) di equazione \(y^2=2x\) siano \(P\) il generico punto di \(\gamma\), \(t\) la tangente in \(P\) a \(\gamma\), \(Q\) l’intersezione di \(t\) con l’asse delle \(x\), \(S\) il simmetrico di \(Q\) rispetto a \(P\). Scrivere l’equazione del luogo descritto da \(S\) al variare di \(P\) su \(\gamma\).
2) Dati i punti \(O\) e \(A(a,0)\), determinare il luogo descritto dal punto \(P\) il quale varia in modo che nel triangolo \(OAP\) l’angolo in \(O\) risulta doppio di quello in \(P\).
3) Determinare il luogo descritto dai punti per i quali il prodotto delle distanze dai due punti \(A(a,0)\) e \(B(-a,0)\) è uguale ad \(a^2\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(P\left( \frac{{{k}^{2}}}{2},k \right)\), con \(k\in \mathbb{R}\), un generico punto di \(\gamma\), si ha che la retta tangente \(t\) in \(P\) ha equazione \(y=\frac{1}{k}x+\frac{k}{2}\), per \(k\ne 0\) (per \(k=0\) la retta tangente in \(P=O\) è l’asse \(y\), e \(S=P=Q=O\)), per cui \(Q\left( -\frac{{{k}^{2}}}{2},0 \right)\) è l’intersezione di \(t\) con l’asse \(x\), e \(S\left( \frac{3{{k}^{2}}}{2},2k \right)\) è il simmetrico di \(Q\) rispetto a \(P\), ne consegue che il luogo descritto da \(S\) è tale che \[k=\frac{y}{2}\to x=\frac{3}{2}\frac{{{y}^{2}}}{4}\to x=\frac{3}{8}{{y}^{2}}\] cioè di nuovo una parabola con vertice nell’origine e l’asse \(x\) come asse di simmetria.
Nel secondo caso, conviene operare in coordinate polari: posto \(P\left( r,2\theta \right)\) il punto cercato, si può osservare, in base al teorema dei seni applicato al triangolo \(OAP\), che deve essere, supponendo \(a>0\): \[\frac{OP}{\sin 3\theta }=\frac{a}{\sin \theta }\to OP=r=a\frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }=\]\[=a\left( \cos 2\theta +2{{\cos }^{2}}\theta \right)=a\left( 4{{\cos }^{2}}\theta -1 \right)\] con la condizione \(-\pi \le 3\theta \le \pi \to -\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}\); se poniamo \(\alpha =2\theta\), possiamo scrivere \[OP=r=a\left( 4{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-1 \right)=\]\[=a\left( 2\cos \alpha +1 \right),\quad -\frac{2}{3}\pi \le \alpha \le \frac{2}{3}\pi \] e possiamo ricavare un’equazione in termini di coordinate cartesiane eliminando il parametro \(\alpha\) dalle relazioni \[x=r\cos \alpha =a\left( 2\cos \alpha +1 \right)\cos \alpha \quad y=r\sin \alpha =a\left( 2\cos \alpha +1 \right)\sin \alpha \]
da cui, tenendo conto che nei limiti del problema \(2\cos \alpha +1\ge 0\), si ha: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{\left( 2\cos \alpha +1 \right)}^{2}}\to \cos \alpha =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a}{2a}\] e quindi \[x=r\cos \alpha =\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\left( \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a}{2a} \right)\to 2ax={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-a\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \] \[\to a\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax\to \]\[\to {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4a{{x}^{3}}-4ax{{y}^{2}}-{{a}^{2}}{{y}^{2}}+3{{a}^{2}}{{x}^{2}}=0\] con la limitazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax\ge 0\) (cioè solo punti esterni alla circonferenza di centro \((a,0)\) e raggio \(a\)). La figura che si ottiene è una cardioide con una cuspide nell’origine, simmetrica rispetto all’asse \(x\).
L’ultimo luogo si ottiene ponendo \[\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( x+a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}={{a}^{2}}\] da cui, elevando al quadrato e sviluppando i calcoli: \[{{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}=0\] rappresentata dalla figura “a otto” sottostante (lemniscata di Bernoulli).
Massimo Bergamini