Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Caro professore,
vorrei porle questo problema:
Dato l’insieme \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}/x=\frac{{{n}^{2}}-1}{n},n\in \mathbb{N}-\left\{ 0 \right\} \right\}\), verificare che l’insieme \(A\) è illimitato superiormente.
Come posso risolverlo?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
potresti dimostrare che, comunque si consideri un reale \(M>0\), esiste un naturale \(\bar{n}\) tale che \(\frac{{{{\bar{n}}}^{2}}-1}{{\bar{n}}}>M\), e così è, poiché:
\[\frac{{{n}^{2}}-1}{n}>M\to \frac{{{n}^{2}}-Mn-1}{n}>0\to {{n}^{2}}-Mn-1>0\to \]
\[\to n<{{n}_{1}}=\frac{M-\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\vee n>{{n}_{2}}=\frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\]
La disequazione \(n<{{n}_{1}}\) non ha senso per \(n\in \mathbb{N}\), essendo \({{n}_{1}}<0\) per ogni \(M>0\), mentre la disequazione \(n>{{n}_{2}}\) dimostra la tesi , con \(\bar{n}={{n}_{2}}=\frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+4}}{2}\): per quanto grande sia \(M\), esiste un \(\bar{n}\) abbastanza grande da far sì che il relativo \(x\in A\) superi \(M\), e l’illimitatatezza superiore di \(A\) resta dimostrata.
Massimo Bergamini