Ricevo da Giulia la seguente domanda:
Buongiorno professore,
sto avendo difficoltà con questo problema.
a) Trova l’equazione dell’ellisse, con centro nell’origine e i fuochi sull’asse \(x\), che ha eccentricità \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\) e un vertice in \((5; 0)\).
b) Considera il quadrato circoscritto all’ellisse con le diagonali sugli assi cartesiani e trova l’area del rettangolo che ha per vertici i punti di contatto dei lati del quadrato con l’ellisse.
c) Generalizza il risultato precedente con l’ellisse di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\), dimostrando che l’area del rettangolo è \(\frac{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).
Le rispondo così:
Cara Giulia
,
posto che \(a=5\) e \(c=a\cdot e=\frac{5\sqrt{3}}{2}\), si ha \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=\frac{25}{4}\), per cui l’ellisse cercata ha equazione \({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=25\). Per rispondere ai punti seguenti, consideriamo per prima la questione più generale, applicandola poi al caso particolare. Il quadrato \(ABCD\) circoscritto all’ellisse \({{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{y}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}\), avente le diagonali sugli assi, ha i lati appartenenti a rette dei fasci \(y=\pm x+q\), tangenti l’ellisse in punti simmetricamente disposti rispetto agli assi, cioè i vertici del rettangolo \(EFGH\) di cui si chiede l’area; è quindi sufficiente individuarne uno, ad esempio quello appartenente al primo quadrante, per ricavare gli altri per simmetria. Consideriamo quindi la retta \(y=-x+q\) tangente in \(E\) all’ellisse: la condizione che determina \(q\), e quindi \(E\), è l’annullamento del discriminante dell’equazione
\[{{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{a}^{2}}{{\left( -x+q \right)}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0\to \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{x}^{2}}-2{{a}^{2}}qx+{{a}^{2}}{{q}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0\]cioè: \[{{a}^{4}}{{q}^{2}}-{{a}^{4}}{{q}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{q}^{2}}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{4}}=0\to {{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{q}^{2}} \right)=0\to q=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]
mentre il punto di tangenza ha coordinate: \[x=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\quad y=-x+q=\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\quad .\] Pertanto, l’area \(R\) del rettangolo è data dal quadruplo del prodotto delle coordinate di tale punto \(E\), cioè: \[R=\frac{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\quad .\]
In particolare, per \(a=5\) e \(b=\frac{5}{2}\), si ha \(R=20\).
Massimo Bergamini