Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore
la prego, mi aiuti a risolvere questi quesiti:
1) Tra i settori circolari di uguale perimetro \(2p\) determinare quello di area massima.
2) Nel semicerchio di diametro \(AB=2r\) si inscriva il quadrilatero \(ABCD\) in modo tale che \(DC=r\) e la somma \(s=AC+BD\) delle lunghezze delle diagonali sia massima.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, detto \(r\) il raggio del settore e \(2\alpha\) la misura in radianti dell’angolo al centro corrispondente, si ha \(2p=2r+2\alpha r\to r=\frac{p}{1+\alpha }\), e poiché l’area del settore è \(S=\alpha {{r}^{2}}=\frac{{{p}^{2}}\alpha }{{{\left( 1+\alpha \right)}^{2}}}\), derivando e studiando zeri e segno della derivata, nei limiti \(\frac{p}{\pi +1}<r<p\), si ha:\[S'=\frac{{{p}^{2}}\left( 1-\alpha \right)}{{{\left( 1+\alpha \right)}^{3}}}=0\leftrightarrow \alpha =1\]
cioè il settore di perimetro \(2p\) che massimizza l’area è quello di raggio \(p/2\) che sottende un angolo di \(2\) radianti.
Nel secondo caso, posto \(x=D\hat{A}B\), con \(\pi/6\le x \le \pi/2\), si ha \(BD=2r\sin x\) e \(AC=2r\sin \left( \frac{2}{3}\pi -x \right)\), per cui: \[S=2r\left( \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x \right)=\frac{r}{2}\left( 3\sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\quad .\] Derivando e studiando zeri e segno della derivata, si ha: \[S'=\frac{r}{2}\left( 3\cos x-\sqrt{3}\sin x \right)=0\leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\to x=\frac{\pi }{3}\] cioè il massimo cercato si realizza quando il quadrilatero è un trapezio isoscele.
Massimo Bergamini