Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
questo problema mi risulta molto difficile, mi può cortesemente aiutare?
Data la parabola \(y^2=2px\), si conduca una parallela alla tangente nel vertice \(O\), distante del segmento \(OC=a\) dal vertice, che determina il segmento parabolico \(AOB\). Si consideri un punto \(M\) sull’arco \(OA\) e si conducano le perpendicolari \(MH\) e \(MP\) all’asse \(Ox\) e alla retta \(AB\). Studiare la variazione dl volume generato dalla rotazione del trapezio \(OMPC\) ruotando intorno all’asse \(OC\). Studiare la variazione della superficie totale del cilindro generato dal rettangolo \(MPCH\) dell’esercizio precedente in una rotazione intorno all’asse \(OC\).
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
posto \(CP=y\), con \(0\le y\le\sqrt{2ap}\), si osserva che \(OH=x_M=\frac{{{y}^{2}}}{2p}\), e quindi \(HC=a-x_M=\frac{2ap-{y}^{2}}{2p}\), per cui, detto \(V\) il volume del solido ottenuto dalla rotazione di \(OMPC\) intorno a \(OC\) e detta \(S\) la superficie totale del cilindro ottenuto dalla rotazione di \(MPCH\) sempre intorno a \(OC\), si ha:
\[V=\frac{1}{3}\pi M{{H}^{2}}\cdot OH+\pi M{{H}^{2}}\cdot HC=\frac{\pi {{y}^{4}}}{6p}+\pi {{y}^{2}}\left( a-\frac{{{y}^{2}}}{2p} \right)=\] \[=\frac{\pi {{y}^{2}}}{3p}\left( 3ap-{{y}^{2}} \right)\]
\[S=2\pi M{{H}^{2}}+2\pi MH\cdot HC=2\pi y\left( y+a-\frac{{{y}^{2}}}{2p} \right)=\]\[=\frac{\pi y}{p}\left( -{{y}^{2}}+2py+2ap \right)\quad .\]
Per assegnati valori dei parametri \(a\) e \(p\), le due funzioni sono quindi semplici polinomi nella variabile \(y\).
Massimo Bergamini