Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore
come si risolve questo quesito?
Calcola i lati e gli angoli di un triangolo sapendo che i lati sono tre numeri consecutivi e che l’angolo maggiore è doppio del minore.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
sia \(n\), intero positivo, la misura del lato \(a\) di fronte all’angolo minore \(\alpha\), sia \(n+1\) la misura del lato \(b\) di fronte all’angolo \(\beta\), e sia \(n+2\) la misura del lato \(c\) di fronte all’angolo \(\gamma\). Per ipotesi, \(\gamma=2\alpha\), da cui, utilizzando il teorema di Carnot:
\[\cos \alpha =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}+{{\left( n+2 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}}{2\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{{{n}^{2}}+6n+5}{2\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\]
\[\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{n}^{2}}+{{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{\left( n+2 \right)}^{2}}}{2n\left( n+1 \right)}=\frac{{{n}^{2}}-2n-3}{2n\left( n+1 \right)}\]
e poiché \(\cos \gamma =\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\), si deve avere: \[2\frac{{{\left( {{n}^{2}}+6n+5 \right)}^{2}}}{4{{\left( n+1 \right)}^{2}}{{\left( n+2 \right)}^{2}}}-1=\frac{{{n}^{2}}-2n-3}{2n\left( n+1 \right)}\to \]\[2{{n}^{5}}3{{n}^{4}}-25{{n}^{3}}-63{{n}^{2}}-49n-12=0\to {{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( n+3 \right)\left( 2n+1 \right)\left( n-4 \right)=0\] la cui sola soluzione accettabile è \(n=4\), da cui: \[a=4,\ b=5,\ c=6\] \[\cos \alpha =\frac{9}{12}\to \alpha \approx 41,4{}^\circ ,\ \cos \beta =\frac{9}{16}\to \beta \approx 55,8{}^\circ ,\ \gamma =2\alpha \approx 82,8{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini