Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Dopo aver stabilito per quali valori del parametro \(k\) l’equazione \((k-2)x^2+(1-2k)y^2=3(15k-1)\) rappresenta un’iperbole con i fuochi sull’asse \(x\), determinare l’iperbole equilatera del fascio, e siano \(A_1\) e \(A_2\) i suoi vertici, di cui \(A1\) è quello di ascissa positiva. Inoltre:
a) determinare l’equazione dell’ellisse avente due vertici coincidenti con \(A_1\) e \(A_2\) e per fuochi i punti \(F_1(0;3)\) e \(F_2(0;-3)\);
b) data la retta \(r:3x-5y+5=0\), indicata con \(n\) la retta perpendicolare a \(r\) e passante per l’origine degli assi \(O\), determinare il punto \(T\) del \(2^\circ\) quadrante d’intersezione tra \(n\) e l’ellisse;
c) sul minore dei due archi \(A_1T\) dell’ellisse determinare un punto \(P\) in modo che l’area del triangolo \(A_1TP\) sia uguale a \(8\left( \sqrt{5}-1 \right)\).
Le rispondo così:
Cara Francesca,
la condizione per la quale l’equazione rappresenta un’iperbole con fuochi sull’asse \(x\) è equivalente al seguente sistema di disequazioni:
\[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{15k-1}{1-2k}<0 \\ \frac{15k-1}{k-2}>0 \end{array} \right.\]
che si risolve in \(k<\frac{1}{15}\vee k>2\); in particolare, la condizione \(k-2=-\left( 1-2k \right)\to k=-1\) determina l’iperbole equilatera del fascio: \[\frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\] avente vertici \(A_1(4,0)\) e \(A_2(-4,0)\). L’ellisse con questi vertici e fuochi \(F_1(0;3)\) e \(F_2(0;-3)\) ha equazione: \[\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\]come si può ricavare dalla condizione \({{c}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\to 9={{b}^{2}}-16\to b=5\). La retta \(n\), di equazione \(y=-\frac{5}{3}x\), incontra l’ellisse nel punto \(T\left( -\frac{12}{5},4 \right)\) del \(2^\circ\) quadrante, per cui il triangolo \(A_1TP\) ha il lato \(A_1T\) fissato, di lunghezza \({{A}_{1}}T=\frac{4\sqrt{89}}{5}\). Il punto \(P\) variabile sull’arco \(TA_1\) ha ascissa \(x\) compresa tra \(-\frac{12}{5}\) e \(4\), e ordinata \(\frac{5}{4}\sqrt{16-{{x}^{2}}}\), per cui l’altezza del triangolo relativa al lato \(A_1T\) è la distanza \(PH\) tra \(P\) e la retta \(A_1T\), avente equazione \(8y+5x-20=0\): \[PH=\frac{\left| 5x+10\sqrt{16-{{x}^{2}}}-20 \right|}{\sqrt{89}}\] per cui l’area \(S\) di \(A_1TP\) è: \[S=\frac{1}{2}\frac{\left| 5x+10\sqrt{16-{{x}^{2}}}-20 \right|}{\sqrt{89}}\cdot \frac{4\sqrt{89}}{5}=2\left| x+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}-4 \right|\]da cui l’equazione \[=2\left| x+2\sqrt{16-{{x}^{2}}}-4 \right|=8\left( \sqrt{5}-1 \right)\to 2\sqrt{16-{{x}^{2}}}=4\sqrt{5}-x\to \]\[\to 5{{x}^{2}}-8\sqrt{5}x+16=0\to {{\left( \sqrt{5}x-4 \right)}^{2}}=0\to x=\frac{4\sqrt{5}}{5}\] cioè il punto \(P\) cercato è \[P\left( \frac{4\sqrt{5}}{5},2\sqrt{5} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini