Un problema di massimo

Ricevo da Nicole la seguente domanda:
 
Buongiorno professore,
avrei bisogno di un aiuto con il problema che segue:
In una semicirconferenza di diametro \(AB=1\;m\), individua un punto \(C\), in modo che, se \(D\) è il punto medio dell’arco \(BC\), risulti massima la somma delle corde \(AC+DB\). Si indichi l’angolo \(C\hat{A}B\) con \(2x\).
La ringrazio molto anticipatamente
 
Le rispondo così:
 
Cara Nicole,
le ipotesi del problema ci consentono di affermare che, essendo \(CD\cong DB\), ne consegue \(C\hat{A}D\cong D\hat{A}B=x\), e applicando noti teoremi di trigonometria possiamo ricavare \[DB=AB\sin x=\sin x\quad AC=AB\cos 2x=\cos 2x\] per cui la funzione da massimizzare è la seguente, sotto la limitazione \(0\le x\le \pi/4\):\[s\left( x \right)=AC+DB=\sin x+\cos 2x\quad .\] Passando alla funzione derivata e alla determinazione degli eventuali valori di annullamento della stessa, nonché all’analisi del suo segno, si ricava il valore di \(x\) corrispondente al massimo cercato: \[s'\left( x \right)=\cos x-2\sin 2x=\cos x\left( 1-4\sin x \right)\to s'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\arcsin \left( \frac{1}{4} \right)\approx 14,48{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini