Circonferenza tangente

Ricevo da Licia la seguente domanda:
 
Buonasera Professore,
avrei un problema da svolgere: data la funzione \[f\left( x \right)={{e}^{2x}}-5{{e}^{x}}+4\]scrivere l’equazione della circonferenza tangente al grafico di \(f(x)\) nell’origine e avente il centro sulla retta di equazione \(x= -3\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Licia,
la circonferenza cercata condivide con il grafico di \(f(x)\) la retta tangente nel punto \(O(0,0)\), per determinare la quale occorre il valore della derivata di \(f(x)\) in \(x=0\), cioè: \[f'\left( x \right)=2{{e}^{2x}}-5{{e}^{x}}\to f'\left( 0 \right)=-3\]per cui la retta tangente comune ha equazione \(y=-3x\). Ne consegue che il centro della circonferenza si trova sulla retta perpendicolare alla tangente passante per \(O\), cioè la retta \(y=\frac{1}{3}x\), la quale incontra la retta x=-3 nel centro della circonferenza, cioè \(C(-3,-1)\): la circonferenza ha quindi raggio \(\overline{CO}=\sqrt{10}\) e la sua equazione è la seguente: \[{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+2y=0\quad .\]
Massimo Bergamini