Parabole e tangenti

Ricevo da Simonetta la seguente domanda:
 
Gentile professore,
vorrei la sua consulenza per risolvere questo problema.
Determina le equazioni delle rette tangenti a entrambe le parabole di equazioni \(y=x^2-4x+3\) e \(y=-x^2 + 2x – 6\).
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Simonetta,
poiché una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate non può avere una retta tangente parallela a tale asse, possiamo scrivere in modo esplicito l’equazione di una generica retta tangente come \(y=mx+q\) senza perdere generalità. Imporre che tale retta sia tangente ad entrambe le parabole significa imporre che siano nulli entrambi i discriminanti delle seguenti equazioni, risolventi il sistema retta-parabola nei due casi:\[{{x}^{2}}-\left( 4+m \right)x+3-q=0\quad \quad {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+6+q=0\]quindi \(m\) e \(q\) devono risolvere il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} m^2+8m+4q+4=0 \\ m^2-4m-4q-20=0 \end{array} \right.\]da cui, sommando le due equazioni, si ottiene \({{m}^{2}}+2m-8=0\), risolta per \({{m}_{1}}=2\) e \({{m}_{2}}=-4\), a cui corrispondono \({{q}_{1}}=-6\) e \({{q}_{2}}=3\) rispettivamente. Le tangenti comuni cercate sono quindi le rette:      \[r:\quad y=2x-6\quad \quad s:\quad y=-4x+3\quad .\]
Massimo Bergamini