Un problema di max/min

Ricevo da Nadia la seguente domanda:
 
Salve, fra tutti i rettangoli inscritti nel segmento parabolico delimitato dalla parabola di equazione \(x=6-y^2\) e dall’asse delle ordinate, determina:
A) quello di area massima;
B) quello di perimetro massimo.
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Nadia,
detta \(x\) l’ascissa del vertice \(A\) del rettangolo, con \(0\le x \le 6\), essendo \(y=\sqrt{6-x}\) l’ordinata di \(A\), area \(S(x)\) e perimetro \(p(x)\) di \(ABCD\) sono dati dalle seguenti funzioni: \[S\left( x \right)=2x\sqrt{6-x}\quad \quad p\left( x \right)=4\sqrt{6-x}+2x\]per cui, derivando e uguagliando a \(0\) le derivate, e controllando l’andamento del segno delle derivate stesse, si ricavano i valori di \(x\) che massimizzano le due funzioni: \[S'\left( x \right)=\frac{12-3x}{\sqrt{6-x}}\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=4\]\[p'\left( x \right)=\frac{2\left( 2\sqrt{6-x}-1 \right)}{\sqrt{6-x}}\to p'\left( x \right)=0\leftrightarrow 2\sqrt{6-x}-1=0\to x=\frac{23}{4}\quad .\]
Massimo Bergamini