Ricevo da Evarist la seguente domanda:

Salve professore,

ho incontrato problemi con il seguente quesito (n.82, pag.303, Matutor):

Calcola il volume del solido che ha come base la regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione assegnata e dall’asse \(x\) nell’intervallo segnato a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate:

\[y=\sqrt{{{x}^{3}}-x},\quad \left[ 1;4 \right];\quad \text{semicerchi}.\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Evarist(e) (Galois?),

si tratta di “sommare” in senso integrale, nell’intervallo assegnato, i volumi di sezioni (semicirconferenze di raggio \(y/2\)) di area \(S\left( x \right)=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{8}\left( {{x}^{3}}-x \right)\) e “spessore” \(dx\): \[V=\frac{\pi }{8}\int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-x \right)dx}=\frac{\pi }{8}\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{1}^{4}=\frac{\pi }{8}\left( 56+\frac{1}{4} \right)=\frac{225}{32}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Erika la seguente domanda:

Caro professore,

non capisco questo problema.

Si hanno 2 mazzi da 40 carte. Da ciascuno viene estratta una carta. Calcola la probabilità che almeno una carta sia un asso.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Erika,

la probabilità dell’evento \(E_1\) = ”la carta estratta dal primo mazzo NON è un asso” è \(p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{36}{40}=\frac{9}{10}\), la probabilità dell’evento \(E_2\) = ”la carta estratta dal secondo mazzo NON è un asso” è \(p\left( {{E}_{2}} \right)=\frac{9}{10}\), quindi la probabilità dell’evento \({{E}_{3}}={{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}\) = “NESSUNA delle due carte estratte è un asso” è \(p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{9}{10}\cdot \frac{9}{10}=\frac{81}{100}\), per cui la probabilità dell’evento \(E={{\bar{E}}_{3}}\)= “ALMENO UNA delle due carte estratte è un asso” è: \[p\left( E \right)=1-p\left( {{E}_{3}} \right)=1-\frac{81}{100}=\frac{19}{100}=19\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

non riesco a risolvere il seguente problema:

In una circonferenza di centro \(O\), considera una corda \(AB\) lunga \(6\sqrt{2}a\), e sul suo prolungamento dalla parte di \(B\), un punto \(C\) tale che \(AB/BC=2\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\). Da \(C\) traccia una tangente alla circonferenza: siano \(D\) il punto di tangenza, \(E\) il punto d’intersezione del raggio \(OD\) con la corda \(AB\), \(H\) il piede della perpendicolare da \(O\) ad \(AB\). Sapendo che \(DE\) è \(\sqrt{3}a\), calcola:

a) la lunghezza di \(CD\);

b) l’area del triangolo \(DCE\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

con riferimento alla figura, dalla proporzione assegnata ricaviamo subito che \(BC=3\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)a\) e quindi che \(HC=3\sqrt{3}a\). Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli \(OHC\), \(OHB\) e \(ODC\), abbiamo: \[O{{C}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}},\ O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}},\ C{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}=O{{C}^{2}}\to \]\[\to O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}}+C{{D}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}}\to\] \[C{{D}^{2}}=27{{a}^{2}}-18{{a}^{2}}\to CD=3a\quad .\]

Quindi l’area l’area del triangolo \(DCE\) è \(\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Emanuela la seguente domanda:

Caro professore,

non capisco questo problema (pag.4, n.14, Verso la seconda prova di matematica 2017).

a. Indica quale delle seguenti funzioni può descrivere l’andamento del grafico in figura:    \[f\left( x \right)=2{{e}^{-{{x}^{2}}}}+k,\ f\left( x \right)=\cos \left( kx \right)-1,\ f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}},\]

e determina il valore di \(k\).

b. Tra le primitive della funzione, determina quella che passa per il punto \(A\) e disegnane il grafico.

c. Detta \(C\) l’intersezione tra la primitiva trovata e l’asse \(y\), verifica che il grafico della primitiva è simmetrico rispetto a \(C\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Emanuela,

l’unica funzione plausibile è \(f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}}\), dal momento che la prima presenta un asintoto orizzontale \(y=k\) agli infiniti, la seconda è periodica; il valore di \(k\) consegue dal fatto che \(A(1;-2)\) debba appartenere al grafico:            \[k-2k=-2\to k=2\to f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}\quad .\]

Integriamo in senso indeterminato \(f(x)\): \[\int{\left( 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}+c\] e utlizziamo il passaggio per \(A\) per fissare la costante \(c\) e quindi la primitiva richiesta:

\[\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+c=-2\to c=-\frac{16}{15}\to f\left( x \right)=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\] Infine, poiché si ha \(C\left( 0;-\frac{16}{15} \right)\), si tratta di verificare che la funzione trovata risulta invariante rispetto alla trasformazione: \[{{S}_{C}}:\left\{ \begin{align}  & x’=-x \\  & y’=-\frac{32}{15}-y \\ \end{align} \right.\] infatti: \[-\frac{32}{15}-y=\frac{2}{5}{{\left( -x \right)}^{5}}-\frac{4}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-\frac{16}{15}\to y=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Enrico la seguente domanda:

Caro professore,

devo trovare la probabilità di colpire una sfera, inscritta in un cono equilatero di dato raggio di base. Tale bersaglio è fermo ed è posto verticalmente alla traiettoria del proiettile considerato di dimensioni non significative.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Enrico,

supponendo che il tiratore colpisca sempre il cono e sempre con una traiettoria di tiro perpendicolare all’asse del cono, e che ogni punto del cono venga colpito con la stessa probabilità, possiamo ricavare la probabilità \(p\) che sia colpita la sfera come il rapporto tra la superficie \(S_s\) del cerchio inscritto nel triangolo equilatero di lato \(2r\) che rappresenta la sezione del cono equilatero contenente l’asse di simmetria e la superficie \(S_t\) del triangolo stesso, cioè, ricordando che il centro della circonferenza inscritta nel triangolo equilatero è pari ad \(1/3\) dell’altezza: \[p=\frac{{{S}_{s}}}{{{S}_{t}}}=\frac{\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}}{\sqrt{3}{{r}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{9}\pi \approx 60,46\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

potrebbe aiutarmi con questi problemi? (pag.2059, nn. 327, 328, 333, 334, Matematica.blu 2.0)

1) Trova il volume del solido ottenuto ruotando di \(360^\circ\) attorno all’asse \(x\) il trapezoide definito dalla funzione \(y=\frac{x}{2-x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;1 \right]\).

2) Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\frac{1}{\cos x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\).

3) Trova il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\sqrt{\frac{x+4}{x}}\) nell’intervallo \(\left[-5;-4 \right]\).

4) Rappresenta graficamente la funzione \(y=\sqrt{{{e}^{3x}}}\) e determina il volume del solido ottenuto mediante una rotazione completa attorno all’asse \(x\), con \(x\in \left[ 0;1 \right]\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

ciascuno dei volumi richiesti è dato da un integrale definito del tipo \(\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}dx}\): \[\text{1)  }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\frac{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}}dt}=\pi \left[ -\frac{4}{t}+t-4\ln t \right]_{1}^{2}=\pi \left( 3-4\ln 2 \right)\quad .\] \[\text{2)  }V=\pi \int\limits_{0}^{\pi /4}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\pi \left[ \tan x \right]_{0}^{\pi /4}=\pi \quad .\]\[\text{3)  }V=\pi \int\limits_{-5}^{-4}{\frac{x+4}{x}dx}=\pi \left[ x+4\ln \left| x \right|
\right]_{-5}^{-4}=\pi \left( 1-4\ln \frac{5}{4} \right)\quad .\]\[\text{4)  }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\pi \left[ \frac{{{e}^{3x}}}{3} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{3}\left( {{e}^{3}}-1 \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

ho ancora bisogno del suo aiuto per i seguenti problemi  (pag.7, nn. 28 e 29, Verso la seconda prova di matematica 2017).

1) Nella produzione di rubinetti per lavatrici della ditta Golex si è rilevato che la probabilità che un pezzo sia difettoso è del \(5\%\). Presi a caso \(6\) rubinetti insieme, calcola la probabilità che:

a. tutti siano perfetti;

b. uno solo sia difettoso;

c. almeno uno sia difettoso;

d. al massimo due siano difettosi.

Esaminando i rubinetti uno dopo l’altro, qual è la probabilità che il primo a risultare difettoso sia il terzo o il quinto?

2) Trofeo Città di Schio Al Trofeo di nuoto Città di Schio 2016 hanno partecipato atleti di età compresa fra i \(13\) e i \(26\) anni. La seguente tabella riporta la sintesi dei tempi stabiliti dagli atleti nei 50 stile libero.

Si sceglie un atleta a caso.

a. Calcola la probabilità degli eventi:

\(A\) = “l’atleta ha nuotato in un tempo tra \(22”00\) e \(27”00\)’”;

\(M\) = “l’atleta è un maschio”.

Si tratta di eventi indipendenti? Motiva la tua affermazione.

b. Calcola la probabilità che l’atleta abbia nuotato in un tempo tra \(27”01\) e \(32”00\), sapendo che è una ragazza; calcola inoltre la probabilità che l’atleta abbia nuotato in più di \(32”\) sapendo che è un ragazzo.

c. Calcola la probabilità che l’atleta sia una ragazza, sapendo che ha nuotato in un tempo compreso tra \(22”00\) e \(27”00\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

nel primo caso, si tratta di un tipico problema di prove ripetute (anche se si deve fare un’ipotesi che non è stata esplicitata: il numero di rubinetti prodotti è molto elevato, e pertanto per ciascuno dei \(6\) rubinetti esaminati la probabilità di essere difettoso rimane sempre pressochè del \(5\%\), indipendentemente dal fatto che ogni volta si rimetta o meno il rubinetto esaminato nel mucchio di quelli prodotti…). La probabilità che tutti siano perfetti è quindi \(p={{\left( \frac{95}{100} \right)}^{6}}={{\left( \frac{19}{20} \right)}^{6}}\approx 73,5\%\); la probabilità che uno solo sia difettoso è \(p=\frac{6!}{5!}\left( \frac{1}{20} \right){{\left( \frac{19}{20} \right)}^{5}}\approx 23,2\%\); la probabilità che almeno uno sia difettoso è \(p=1-{{\left( \frac{19}{20} \right)}^{6}}\approx 26,5\%\); la probabilità che al massimo due siano difettosi è \(p={{\left( \frac{19}{20} \right)}^{6}}+\frac{6!}{5!}\left( \frac{1}{20} \right){{\left( \frac{19}{20} \right)}^{5}}+\frac{6!}{4!2!}{{\left( \frac{1}{20} \right)}^{2}}{{\left( \frac{19}{20} \right)}^{4}}\approx 99,77\%\). Infine, poiché la probabilità che a essere difettoso sia il terzo estratto è \({{p}_{1}}=\frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{20}\approx 4,51\%\), mentre la probabilità che a essere difettoso sia il quinto estratto è \({{p}_{2}}=\frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{20}\approx 4,07\%\), la probabilità che il primo a risultare difettoso sia il terzo o il quinto è \({{p}_{1}}+{{p}_{2}}\approx 8,58\%\).

Nel secondo caso, possiamo immaginare un grafo ad albero, dopo aver stabilito che, dati i \(325\) atleti partecipanti, la probabilità che un atleta scelto a caso sia maschio è \(p\left( M \right)=\frac{165}{325}=\frac{33}{65}\), che sia femmina è \(p\left( M \right)=\frac{160}{325}=\frac{32}{65}\); le probabilità (condizionate) che un atleta maschio abbia realizzato un tempo in prima, seconda o terza fascia sono rispettivamente: \(p\left( 1{}^\circ |M \right)=\frac{80}{165}=\frac{16}{33}\), \(p\left( 2{}^\circ |M \right)=\frac{84}{165}=\frac{28}{55}\), \(p\left( 3{}^\circ |M \right)=\frac{1}{165}\), mentre per un atleta femmina sono rispettivamente:\(p\left( 1{}^\circ |F \right)=\frac{4}{160}=\frac{1}{40}\), \(p\left( 2{}^\circ |F \right)=\frac{136}{160}=\frac{17}{20}\), \(p\left( 3{}^\circ |F \right)=\frac{1}{8}\). Pertanto: \[p\left( A \right)=p\left( M \right)\cdot p\left( 1{}^\circ |M \right)+p\left( F \right)\cdot p\left( 1{}^\circ |F \right)=\frac{33}{65}\cdot \frac{16}{33}+\frac{32}{65}\cdot \frac{1}{40}=\frac{84}{325}\approx 25,85\%\]\[p\left( M \right)=\frac{33}{65}\approx 50,77\%\] e gli eventi non sono indipendenti, poiché \(p\left( A \right)=\frac{84}{325}\ne p\left( A|M \right)=p\left( 1{}^\circ |M \right)=\frac{16}{33}\). Le probabilità richieste al punto b. sono già state calcolate: \[p\left( 2{}^\circ |F \right)=\frac{17}{20}=85\%\quad \quad p\left( 3{}^\circ |M \right)=\frac{1}{165}\approx 0,61\%\quad .\] Infine, utilizzando la relazione di Bayes: \[p\left( F|A \right)=\frac{p\left( F \right)\cdot p\left( 1{}^\circ |F \right)}{p\left( A \right)}=\frac{4}{325}\cdot \frac{325}{84}=\frac{1}{21}\approx 4,76\%\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

non riesco a risolvere questo quesito, mi potrebbe aiutare?

La funzione \(y={{10}^{x+8}}\)  è invertibile? Perché? Quale ne è la derivata? Calcola la derivata della funzione inversa.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

la funzione in questione, definita, positiva e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) in quanto esponenziale, è invertibile perché monotona crescente in tutto il suo dominio, avendo derivata strettamente positiva per ogni \(x\in \mathbb{R}\): \[y’=\ln 10\cdot {{10}^{x+8}}\quad .\] La funzione inversa è ricavabile, in questo caso, “risolvendo” in termini di \(x\) l’espressione della funzione stessa, scambiando poi \(x\) e \(y\) per ottenere, come di consueto, una funzione \(y(x)\): \[{{\log }_{10}}y=x+8\to x={{\log }_{10}}y-8\to y={{\log }_{10}}x-8\quad .\] La derivata della funzione inversa è pertanto: \[y’=\frac{1}{\ln 10\cdot x}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Carissimo professore,

avrei urgentemente bisogno del suo aiuto riguardo ad un esercizio che non riesco a risolvere (pag.2082, n.25, Matematica.blu 2.0).

Determinare il valore del parametro \(t\) che soddisfa l’equazione  \[\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

calcoliamo gli integrali coinvolti nell’equazione e ricaviamo il valore dell’incognita \(t\): \[\left[ \ln \left( 1+{{e}^{x}} \right) \right]_{0}^{t}=\left[ {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{1}\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)-\ln 2=3\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)=3+\ln 2\to \]\[\to 1+{{e}^{t}}={{e}^{3+\ln 2}}\to {{e}^{t}}=2{{e}^{3}}-1\to t=\ln \left( 2{{e}^{3}}-1 \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

Salve professore,

avrei  bisogno del suo aiuto riguardo ai seguenti esercizi (n.88, pag.1112, n.93, pag.1113, Matematica.blu 2.0).

1) Determina il luogo dei punti equidistanti dai tre punti \(A(3;0;0)\), \(B(5;0;6)\), \(C(0;4;0)\).

2) Verifica se la retta \(r\) di equazioni \(\left\{ \begin{align}  & 2x-y+z-1=0 \\ & 5x+3y-8=0 \\ \end{align} \right.\)  è parallela al piano di equazione \(x-y+z+10=0\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ettore,

nel primo caso, detto \(P(x;y;z)\) un generico punto del luogo da determinare, possiamo scrivere le seguenti equazioni: \[PA=PB\to {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}\]\[PA=PC\to {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}\] \[PC=PB\to {{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}\] da cui:

\[x+3z-13=0\quad \wedge \quad 6x-8y+7=0\quad \wedge \quad 10x-8y+12z-45=0\quad .\] Il luogo è una retta poiché sia l’intersezione della coppia di piani \(x+3z-13=0\ \wedge \ 6x-8y+7=0\), sia l’intersezione della coppia \(6x-8y+7=0\ \wedge \ 10x-8y+12z-45=0\), sia l’intersezione della coppia \(x+3z-13=0\ \wedge \ 10x-8y+12z-45=0\), sono tutte equivalenti.

Nel secondo caso, basta controllare se il vettore direttivo del piano sia o meno perpendicolare al vettore direttivo della retta, condizione necessaria e sufficiente affinchè piano e retta siano paralleli, salvo che la retta non sia appartenente al piano stessa, cosa subito esclusa poiché è possibile trovare  un punto della retta che non appartiene al piano: riscritta la retta in modo parametrico        \[\left\{ \begin{align}  & x=t \\ & y=-\frac{5}{3}t+\frac{8}{3} \\ & z=-\frac{11}{3}t+\frac{11}{3} \\ \end{align} \right.\] si vede che il punto \((1;1;0)\) appartiene alla retta ma non al piano. Il vettore direttivo della retta è \(\vec{v}\left( 1,-\frac{5}{3},-\frac{11}{3} \right)\), quello del piano è \(\vec{w}\left( 1,-1,1 \right)\) e \(\vec{v}\cdot \vec{w}\ne 0\), cioè i vettori non sono perpendicolari: retta e piano non sono paralleli, infatti hanno in comune il punto \(P\) che si ottiene risolvendo la seguente: \[t+\frac{5}{3}t-\frac{8}{3}-\frac{11}{3}t+\frac{11}{3}+10=0\to t=11\to P\left( 11;-\frac{47}{3};-\frac{110}{3} \right)\ .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

mi aiuti con questo quesito:

Determina l’area del quadrilatero mistilineo limitato dalla parabola \(\gamma_1\) di equazione \(y=-x^2+4x\) e dalla parabola \(\gamma_2\) di equazione \(y=-x^2+14x-40\), dalla tangente a \(\gamma_1\) nell’origine e dalla tangente a \(\gamma_2\) nel vertice.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

con riferimento alla figura, possiamo osservare che il quadrilatero in questione corrisponde ad un trapezio rettangolo privato dei sottografici delle due parabole negli intervalli \(\left[ 0;4 \right]\) e \(\left[ 4;7 \right]\) rispettivamente. Poiché le tangenti in questione, \(y=9\) e \(y=4x\), si incontrano nel punto di coordinate \((\frac{9}{4};9)\), si ha:

\[S=\frac{423}{8}-\int\limits_{0}^{4}{\left( -{{x}^{2}}+4x \right)dx}-\int\limits_{4}^{7}{\left( -{{x}^{2}}+14x-40 \right)dx}=\]\[=\frac{423}{8}-\left[ -\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right]_{0}^{4}-\left[ -\frac{1}{3}{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+40x \right]_{0}^{4}=\]\[=\frac{423}{8}-\frac{32}{3}-18=\frac{581}{24}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Maria Rita la seguente domanda:

Buonasera,

vorrei un chiarimento in merito al seguente esercizio (n.74, pag.24, Verso la seconda prova di matematica 2016).

Una vasca di gasolio In un magazzino di prodotti petroliferi il gasolio è stoccato in una vasca il cui contorno, riferito ad un sistema di riferimento cartesiano \(Oxy\), è delimitato dalle curve di equazione \(y=f(x)=-x^3+64x\) e \(y=0\), con \(x\) e \(y\) espressi in decimetri. La profondità della vasca è invece data, in ogni punto, dalla funzione \(h(x)=x^2-8x\). Calcola il peso massimo del gasolio che può essere immagazzinato, sapendo che il suo peso specifico è \(0,85\;kg/dm^3\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Maria Rita,

si tratta di calcolare la capacità totale della vasca in decimetri cubi, utilizzando il seguente integrale (in ogni punto dell’intervallo \(0\le x\le 8\) una sezione della vasca perpendicolare al piano \(xy\) è costituita da un rettangolo di lati \(|f(x)|=-x^3+64x\) e \(|h(x)|=-x^2+8x\)): \[V=\int\limits_{0}^{8}{\left( -{{x}^{3}}+64x \right)\left( -{{x}^{2}}+8x \right)dx}=\int\limits_{0}^{8}{\left( {{x}^{5}}-8{{x}^{4}}-64{{x}^{3}}+512{{x}^{2}} \right)dx}=\]\[=\left[ \frac{1}{6}{{x}^{6}}-\frac{8}{5}{{x}^{5}}-\frac{64}{4}{{x}^{4}}+\frac{512}{3}{{x}^{3}} \right]_{0}^{8}=\frac{{{8}^{6}}}{20}=13107,2\ d{{m}^{3}}\]

da cui il peso massimo del gasolio immagazzinabile nella vasca: \[13107,2\cdot 0,85=11141,12\,kg\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Professore,

mi aiuti a risolvere questo quesito.

Data la parabola \(y=4-x^2\), considera la regione di piano \(S\) del primo quadrante compresa tra la parabola e gli assi coordinati. Determina il volume del solido generato dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo  intorno alla retta \(y=5\), e dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo attorno alla retta di equazione  \(x=2\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

nel primo caso possiamo trovare il volume \(V_1\) richiesto come differenza tra il volume del cilindro che si ottiene ruotando intorno a \(y=5\) il rettangolo \(R_1\) di dimensioni \(5\) e \(2\) in cui è inscritta \(S\) e il volume del solido che si ottiene ruotando intorno a \(y=5\) la regione \(R_1-S\): quest’ultimo è lo stesso che si otterebbe ruotando intorno all’asse \(x\) il sottografico della funzione \(y=-1-x^2\), ottenuta per traslazione di \(5\) unità in direzione \(-y\):

\[{{V}_{1}}=50\pi -\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx=}\]\[=50\pi -\pi \left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}+\frac{2}{3}{{x}^{3}}+x \right]_{0}^{2}=50\pi -\frac{206}{15}\pi =\frac{544}{15}\pi \quad .\]

Nel secondo caso, in modo analogo possiamo ricavare il volume richiesto \(V_2\) sottraendo al cilindro ottenuto per rotazione del rettangolo \(R_2\) di dimensioni \(2\) e \(4\) intorno a \(x=2\) il volume del solido che si ottiene ruotando la regione \(R_2-S\) intorno allo stesso asse, o altrimenti ruotando intorno all’asse \(y\) il sottografico della funzione inversa della restrizione all’intervallo \(\left[ -2,0 \right]\) della funzione \(y=-x^2-4x\), traslata di \(2\) unità in direzione \(-x\) di \(y=4-x^2\), cioè \(x=-2+\sqrt{4-y}\): \[{{V}_{2}}=16\pi -\pi \int\limits_{0}^{4}{{{\left( -2+\sqrt{4-y} \right)}^{2}}dy}=\]\[=16\pi -\pi \int\limits_{0}^{4}{\left( 8-y-4\sqrt{4-y} \right)dy}=\]\[=16\pi -\pi \left[ 8y-\frac{1}{2}{{y}^{2}}+\frac{8}{3}{{\left( 4-y \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{4}=\frac{40}{3}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Evarist la seguente domanda:

Salve,
non riesco a risolvere il seguente esercizio (pag.298, n.28, Matutor).

Calcola la retta tangente al grafico della funzione \(y=f(x)\) in \(x=\frac{\pi }{4}\)  sapendo che la sua funzione integrale è:

\[F\left( x \right)=\int\limits_{2}^{x}{\left( \cos t+1 \right)dt}\quad .\]

Grazie

Gli rispondo così:

Caro Evarist,

poiché per ipotesi  \(f\left( x \right)=\cos x+1\), si ha semplicemente \[f\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\] e \[f’\left( \frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\] da cui la retta tangente richiesta:

\[y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{8}\pi +\frac{\sqrt{2}}{2}+1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gent.mo Professore,

mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente problema (pag.31, n.99, Verso la seconda prova di matematica)?

Considera l’equazione differenziale \(y’=\frac{y}{{{x}^{2}}}\).

a. Dimostra, senza risolvere l’equazione, che ogni sua soluzione ha derivata seconda nulla in corrispondenza di \(x=\frac{1}{2}\).

b. Ricava la soluzione generale dell’equazione differenziale e risolvi il corrispondente problema di Cauchy individuato dalla condizione iniziale \(y\left( 1 \right)=\frac{1}{e}\).

c. Si può affermare che per \(x=\frac{1}{2}\) il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla \(y=0\) presenta un punto di flesso? Motiva la risposta.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Paola,

riguardo al primo punto, consideriamo la derivata di entrambi i membri dell’equazione stessa, e otteniamo: \[y”=\frac{y'{{x}^{2}}-2yx}{{{x}^{4}}}=\frac{y-2yx}{{{x}^{4}}}=\frac{y\left( 1-2x \right)}{{{x}^{4}}}\] il che dimostra che, qualunque sia la soluzione \(y(x)\), si ha \(y”\left( \frac{1}{2} \right)=16y\left( \frac{1}{2} \right)\cdot 0=0\).

L’equazione è del primo ordine a variabili separabili, per cui, posto \(y\ne 0\) (\(y=0\) è comunque una soluzione), si ha: \[\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}\to \ln \left| y \right|=-\frac{1}{x}+c\to y\left( x \right)=\pm {{e}^{c}}\cdot {{e}^{-\frac{1}{x}}}=c\cdot {{e}^{-\frac{1}{x}}}\] avendo indicato con \(c\) una costante reale qualsiasi (eventualmente anche nulla). La condizione di Cauchy implica: \[c\cdot {{e}^{-1}}={{e}^{-1}}\to c=1\to y\left( x \right)={{e}^{-\frac{1}{x}}}\quad .\]

Infine, si può affermare che per \(x=\frac{1}{2}\) il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla \(y=0\) presenta un punto di flesso perché, essendo \(y\left( \frac{1}{2} \right)\ne 0\) per ogni soluzione non nulla, si vede che la derivata seconda di ogni possibile \(y(x)\) cambia segno in un intorno di \(x=\frac{1}{2}\), quindi tale punto rappresenta comunque un flesso.

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro Professore,

vorrei capire questo quesito.

Dato il triangolo \(ABC\) acutangolo con \(AB=13\) e \(BC=15\) si sa che il suo baricentro e quello del suo contorno giacciono su una retta parallela ad \(AC\). Determinare l’area del triangolo sapendo che il raggio della circonferenza in esso inscritta misura \(4\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

avendo collocato il triangolo \(ABC\) in un riferimento cartesiano in modo tale che sia \(A(0,0)\) e \(C(2x,0)\), detta \(h=BH\) l’altezza relativa al lato \(AC\), dall’ipotesi che il baricentro \(G\) del triangolo e il baricentro \(L\) del contorno del triangolo stesso giacciano su una retta parallela ad \(AC\) segue che l’ordinata di \(L\) è \(\frac{h}{3}\), essendo tale l’ordinata del baricentro \(G\), essendo questa pari ad un terzo dell’ordinata \(h\) di \(B\). Per il primo teorema di Guldino, la superficie (doppio cono) generata dalla rotazione del contorno di \(ABC\) intorno alla retta \(AC\), cioè l’asse \(x\), è equivalente al prodotto tra la circonferenza di raggio pari alla distanza del baricentro \(L\) del contorno dall’asse di rotazione (cioè l’ordinata di \(L\)) e la lunghezza di tale contorno, cioè il perimetro di \(ABC\), per cui, posto \(AC=2x\), si deve avere:      \[\frac{2}{3}\pi h\left( 28+2x \right)=15\pi h+13\pi h\to 28+2x=42\to x=7\]

e poiché il raggio \(r\) della circonferenza inscritta in un triangolo, il semiperimetro \(p\) e l’area \(S\) del triangolo stesso soddisfano la relazione generale \(S=r\cdot p\), si ha l’area \(S\) richiesta: \[S=4\left( 14+x \right)=4\cdot 21=84\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

mi potrebbe spiegare questo esercizio (pag.2081, n.19, Matematica.blu 2.0)?

Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\).

(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione suppletiva, 2008, quesito 9)

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

la funzione \(F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) può vedersi come funzione composta delle funzioni \(y=\sqrt{\ln x}\) e \(G\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\), per cui \(F\left( x \right)=G\left( y\left( x \right) \right)\), e poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che \(G(x)\) è una primitiva della funzione integranda \(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}\) per ogni \(x\in \left[ 1,+\infty  \right[\), essendo questa continua in tale intervallo, si ha: \[F’\left( x \right)=G’\left( y\left( x \right) \right)\cdot y’\left( x \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{\ln x}\cdot \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\] e quindi: \[F’\left( e \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln e}}}}{\ln e}\cdot \frac{1}{2e\sqrt{\ln e}}=\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}\] e poiché \(F\left( e \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln e}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=\int\limits_{1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=0\), si ha la retta tangente nel punto \(P(e;0)\) al grafico di \(F(x)\): \[y=\frac{1}{2}\left( x-e \right)\quad .\]

Si noti che la funzione \(F(x)\) non può essere ricvata esplicitamente come espressione analitica finita di \(x\), poiché l’integrale della funzione \(\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}\) non può essere calcolato in termini finiti.

Massimo Bergamini

Ricevo da Maria Rita la seguente domanda:

Caro professore,

vorrei un suggerimento per risolvere il seguente esercizio (n.7, pag.391, Matutor).

In un riferimento cartesiano ortogonale si rappresenti l’insieme \(\Sigma\) dei punti \((x;y)\) per i quali risulta \({{e}^{\frac{1}{x}}}-{{y}^{2}}>0\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Maria Rita,

la disequazione in questione può essere sviluppata nel modo seguente, posto che sia \(x\ne 0\): \[{{y}^{2}}<{{e}^{\frac{1}{x}}}\to -{{e}^{\frac{1}{2x}}}<y<{{e}^{\frac{1}{2x}}}\] cioè la regione da rappresentare è quella dei punti le cui ordinate sono comprese tra il grafico della funzione \(y={{e}^{\frac{1}{2x}}}\) e il grafico della sua simmetrica rispetto all’asse \(x\), cioè \(y=-{{e}^{\frac{1}{2x}}}\); tale funzione è monotona decrescente a tratti (la sua derivata è negativa per ogni \(x\ne 0\), e il suo grafico presenta un asintoto orizzontale \(y=1\) per \(x\) che tende a \(\pm \infty\), un asintoto verticale per \(x\) che tende a \(0^+\), mentre per \(x\) che tende a \(0^-\) la funzione tende a \(0\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro Professore,

ho un dubbio su questo quesito:

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta \(y=2\) della parte di piano delimitata dalla funzione \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\) e dalla retta \(y=4\).

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

per prima cosa operiamo una traslazione di \(2\) unità in direzione delle \(y\) negative, ottenendo la funzione traslata \(f(x)=\frac{{{(x-1)}^{2}}}{x}\), che incontra la retta \(y=2\) nei punti di ascissa \(x=2-\sqrt{3}\) e \(x=2+\sqrt{3}\), e quindi operiamo la rotazione rispetto all’asse delle \(x\). Il volume \(V\) del solido in questione si ottiene per sottrazione dal volume del cilindro generato dalla rotazione del rettangolo in cui è inscritta la regione:

\[V=8\sqrt{3}\pi -\pi \int\limits_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}{\frac{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}{{{x}^{2}}}}dx=\]\[=8\sqrt{3}\pi -\pi \left[ \frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+13x+3 \right)}{3x}-4\ln x \right]_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}=\]\[=8\sqrt{3}\pi -8\sqrt{3}\pi -8\pi \ln \left( 2-\sqrt{3} \right)\approx 33,1\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

Buongiorno,
mi sono imbattuto in questo esercizio ma non sono riuscito a risolvere l’integrale:

Calcolare la lunghezza della curva \(y=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{25}}\) nell’intervallo \(\left[ 0;5 \right]\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Andrea,

posto che l’elemento d’arco \(ds\) per una curva derivabile è \(ds=\sqrt{1+y’^{2}}dx\), nel nostro caso si ha:

\[y’=-\frac{x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\to ds=\sqrt{1+\frac{{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}}\ dx=\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{5} \right)}^{2}}}\ }dx\] per cui la lunghezza dell’arco in questione è data dal seguente integrale: \[L=\int\limits_{0}^{5}{\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( x/5 \right)}^{2}}}\ }dx}=5\int\limits_{0}^{5}{\frac{1/5}{\sqrt{1-{{\left( x/5 \right)}^{2}}}\ }dx}=5\left[ \arcsin \left( \frac{x}{5} \right) \right]_{0}^{5}=5\arcsin \left( 1 \right)=\frac{5}{2}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini