Ricevo da Letizia la seguente domanda:

Gentile Professore,

vorrei sottoporle il seguente problema:

Verifica che tutte le curve integrali dell’equazione \(y'(x^2-x-6)=5y\) passano per uno stesso punto.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Letizia,

l’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, oltre alla soluzione costante \(y=0\), ammette come soluzioni le funzioni \(y(x)\) che soddisfano alla seguente uguaglianza: \[\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{dx}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}}\to \ln y=\ln \left| \frac{x-3}{x+2} \right|+c\to y\left( x \right)={{e}^{c}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\]

per cui, posto \({{e}^{c}}=k\), si ha l’integrale generale (inclusivo del caso \(y=0\)): \[y\left( x \right)=k\left| \frac{x-3}{x+2} \right|,\quad k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\quad .\]

Pertanto, se cerchiamo gli eventuali punti comuni a due generiche curve integrali, diciamo \({{y}_{1}}\left( x \right)={{k}_{1}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\) e \({{y}_{2}}\left( x \right)={{k}_{2}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\), con \({{k}_{1}}\ne {{k}_{2}}\), otteniamo l’uguaglianza: \[\left( {{k}_{1}}-{{k}_{2}} \right)\left| \frac{x-3}{x+2} \right|=0\to x=3\quad \forall {{k}_{1}},{{k}_{2}}\] cioè il punto \((3,0)\) appartiene ad ogni curva integrale dell’equazione in esame.

Massimo Bergamini

Ricevo da Caterina la seguente domanda:

Gentile Professore,

In un sacchetto sono contenute \(3\) palline bianche, \(4\) rosse e \(5\) blu. Qual è la probabilità che estraendo tre palline senza reinserimento siano una bianca, una rossa ed una blu, indipendentemente dall’ordine?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Caterina,

possiamo affrontare il problema in almeno due modi. Utilizzando il calcolo combinatorio, possiamo contare quante sono le estrazioni distinte possibili: immaginando le \(12\) palline come distinguibili tra loro, concludiamo che le terne possibili, non contando l’ordine, coincidono con le combinazioni di \(12\) oggetti presi \(3\) a \(3\), cioè \(\frac{12!}{9!3!}=220\), di cui quelle costituite da palline di colore diverso sono \(3\cdot 4\cdot 5=60\), e quindi: \[p=\frac{60}{220}=\frac{3}{11}\approx 27,27\%\quad .\] Altrimenti, si possono usare i teoremi del calcolo delle probabilità e immaginare il diagramma ad albero delle tre estrazioni successive: l’evento favorevole è l’unione dei sei seguenti eventi reciprocamente incompatibili, ciascuno dei quali ha una probabilità di verificarsi pari al prodotto delle rispettive probabilità (probabilità dell’evento intersezione di eventi che si condizionano): \[1{}^\circ Bi|2{}^\circ R|3{}^\circ Bl\to \frac{3}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{5}{10}=\frac{1}{22}\quad 1{}^\circ Bi|2{}^\circ Bl|3{}^\circ R\to \frac{3}{12}\cdot \frac{5}{11}\cdot \frac{4}{10}=\frac{1}{22}\] \[1{}^\circ R|2{}^\circ Bi|3{}^\circ Bl\to \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{5}{10}=\frac{1}{22}\quad 1{}^\circ R|2{}^\circ Bl|3{}^\circ Bi\to \frac{4}{12}\cdot \frac{5}{11}\cdot \frac{3}{10}=\frac{1}{22}\] \[1{}^\circ Bl|2{}^\circ Bi|3{}^\circ R\to \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{4}{10}=\frac{1}{22}\quad 1{}^\circ Bl|2{}^\circ R|3{}^\circ Bi\to \frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}=\frac{1}{22}\] per cui: \[p=6\cdot \frac{1}{22}=\frac{3}{11}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho il seguente problema.

In quanti modi diversi possiamo distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini, sapendo che possiamo assegnare a qualche bambino più di una tavoletta?
Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

premesso che bisognerebbe forse precisare che possiamo anche lasciare qualche bambino senza cioccolato (!), il problema è un classico esempio di conteggio delle combinazioni con ripetizione di \(k=8\) oggetti uguali da distribuire in \(n=5\) “posti” distinti. Un modo di giustificare la formula che ne deriva, è quello di rendere il problema “isomorfo” ad un problema di anagrammi. Introduciamo due simboli, uno per i “posti” (i bambini, nel nostro caso), diciamo \(B\), e uno per gli “oggetti” (le tavolette di cioccolato), diciamo \(T\): una possibile distribuzione è univocamente determinata da una “parola” di questo tipo: \[BTTBTBBTTBTTT\] che significa, ad esempio, che il primo bambino riceve \(2\) tavolette, il secondo \(1\) tavoletta, il terzo \(0\), il quarto \(2\) e il quinto \(3\). Una qualsiasi altra combinazione si ottiene riordinando in tutti i modi possibili le \(12\) lettere che seguono la prima lettera di questa parola, che inizia sempre per \(B\) (ad indicare il primo bambino), perché questo equivale ad attribuire ai cinque bambini le otto tavolette in tutti i modi possibili: il numero di combinazioni coincide quindi con il numero di anagrammi distinti di una parola di \(12=n+k-1\) lettere, di cui solo due distinte, e tali che una si ripete \(4=n-1\) volte, l’altra \(8=k\) volte: \[\frac{\left( n+k-1 \right)!}{\left( n-1 \right)!k!}=\frac{12!}{4!8!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2}=495\quad .\] Un modo alternativo, più diretto ma più dispendioso, consiste nel valutare tutte le possibili cinquine non ordinate di numeri compresi tra \(0\) e \(8\) la cui somma dia \(8\), e poi valutare per ciascuna di esse in quanti modi possa essere distribuita sui cinque bambini. Le cinquine possibili sono \(18\): \[80000\quad 71000\quad 62000\quad 61100\quad 53000\quad 52100\quad 51110\quad 44000\quad 43100\]\[42200\quad 42110\quad 33200\quad 33110\quad 32210\quad 22220\quad 41111\quad 32111\quad 22211\] che, ordinatamente, hanno ciascuna i seguenti numeri di modi di realizzarsi: \[5\quad 20\quad 20\quad 30\quad 20\quad 60\quad 20\quad 10\quad 60\] \[30\quad 60\quad 30\quad 30\quad 60\quad 5\quad 5\quad 20\quad 10\] per un totale di \(495\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Linda la seguente domanda:

Caro professore,

ho questo esercizio che nonostante sia semplice non mi viene e soprattutto non so come devo ragionare. Come bisognava ragionare per risolverlo?

Se si divide il numero \(100000\) per un numero intero di tre cifre diverse si ottiene un quoziente (intero) e un resto, la cosa strana è che il quoziente è composto dalle stesse cifre del divisore, scritte però nell’ordine inverso. Sapendo queste informazioni determinare il divisore.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Linda,

procederei in modo sistematico, dopo aver osservato che, posto \(abc\) il divisore da trovare, con \(b\) cifra qualsiasi, e \(a\) e \(c\) cifre diverse da \(0\), oltre che diverse tra loro e diverse da \(b\), si ha, per ipotesi: \[100000=abc\cdot cba+r\] con \(r<abc\), cioè, per la precisione, \(r<987\), il che implica che \(99013\le abc\cdot cba\le 100000\). Quest’ultima condizione limita a solo sette le possibili coppie \(a-c\), come facilmente si verifica immaginando ciascuna di esse come prima e ultima cifra, in ciascuno dei due ordini possibili, dei due fattori:          \[9\ldots 1\times 1\ldots 9\quad 8\ldots 1\times 1\ldots 8\quad 7\ldots 1\times 1\ldots 7\quad 6\ldots 1\times 1\ldots 6\quad\]\[5\ldots 1\times 1\ldots 5\quad 4\ldots 2\times 2\ldots 4\quad 3\ldots 2\times 2\ldots 3\] Si tratta ora di provare a riempire il posto centrale con una terza cifra non uguale alle due presenti:            \[901\times 109=98209<99013,\quad 921\times 129=118809>100000\to no\] Il fatto che \(901\times 109<99013\) esclude lo \(0\) anche dagli altri casi in cui compare \(1\), poiché darebbero prodotti ancora più piccoli, e con ragionamento analogo si escludono anche altri casi sulla base dei precedenti, quindi proseguiamo così: \[821\times 128=10508>100000\to no\]\[721\times 127=91567<99013\to no,\quad 731\times 137=100147>100000\to no\]\[641\times 146=93586<99013\to no,\quad 651\times 156=101556>100000\to no\] \[561\times 165=92565<99013\to no,\quad 571\times 175=99925\to s\grave{i}!\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

Buon giorno,

ci è stato assegnato il seguente esercizio (n.1, Verso la seconda prova di matematica 2017- esercizi)

Motocross Prima di una gara di motocross, lo staff tecnico del favorito analizza nel dettaglio una doppia semicurva, il cui andamento è simmetrico rispetto all’origine del sistema cartesiano indicato in figura. In blu è colorata la tangente nel punto \(A\).

a. Supponendo di poter approssimare l’andamento della curva con una funzione polinomiale di terzo grado, determina la sua espressione analitica.

b. Calcola le componenti, espresse in \(m/s\), del vettore velocità in corrispondenza del punto di ascissa \(x=-125\) nell’ipotesi di affrontare la curva a \(40\;m/s\).

Potrebbe aiutarmi? Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Andrea,

essendo il polinomio di terzo grado in questione una funzione dispari, la sua equazione può essere solo del tipo \(y=ax^3+bx\), e la sua derivata, di conseguenza, \(y’=3ax^2+b\). Le condizioni note riguardo al punto \(A\) del grafico, si traducono nel seguente sistema, in cui per comodità abbiamo posto \(1,18=\frac{59}{50}\): \[\left\{\begin{array}{ll} a150^3+150b=69 \\ 3a150^2+b=\frac{59}{50} \end{array} \right.\] cioè: \[\left\{\begin{array}{ll} a150^3+150b=69 \\ a150^3+50b=59 \end{array} \right.\] da cui, sottraendo l’una all’altra le due equazioni: \(b={{10}^{-1}}\), \(a=1,6\cdot {{10}^{-5}}\), e quindi la funzione ha equazione \(y=1,6\cdot {{10}^{-5}}{{x}^{3}}+{{10}^{-1}}x\), e la sua derivata è \(y’=4,8\cdot {{10}^{-5}}{{x}^{2}}+{{10}^{-1}}\). Ne consegue che la retta tangente nel punto di ascissa \(x=-125\) ha pendenza \(y’\left( -125 \right)=0,85\): poiché questo è il valore della tangente dell’angolo \(\alpha\) formato dal vettore velocità (che è diretto secondo la tangente alla curva nel punto) con l’asse \(x\), si ha:

\[{{v}_{x}}=40\cos \alpha =40\sqrt{\frac{1}{1+{{0,85}^{2}}}}\approx 30,5\,m/s\]\[{{v}_{y}}=40\sin \alpha =40\frac{0,85}{\sqrt{1+{{0,85}^{2}}}}\approx 25,9\,m/s\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

Buon giorno,

ci è stato assegnato il seguente esercizio (n.3, Verso la seconda prova di matematica 2017- esercizi)

Leggi il grafico

 a. Scrivi l’equazione della parabola \(\gamma\) rappresentata nella figura e trova il punto di intersezione \(A\) della retta \(r\) di equazione \(3x-2y=0\) con la tangente a \(\gamma\) nel suo punto \(P\) di ascissa \(1\).

b. Considera la funzione \(f(x)=\left| \frac{mx}{x-3} \right|-5\). Calcola per quale valore di \(m\in {{\mathbb{R}}^{+}}\) il suo grafico passa per \(A\) e determina gli intervalli in cui \(f(x)\) è crescente e decrescente.

c. Spiega perché \(f(x)\) non è invertibile nel suo dominio, effettua una restrizione di \(f(x)\) nell’intervallo \(\left] 0;3 \right[\) e determina la funzione inversa sia analiticamente che graficamente.

Potrebbe aiutarmi? Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Andrea,

data la generica parabola \(y=ax^2+bx+c\), nota l’ascissa del vertice e l’intersezione con l’asse \(y\), possiamo affermare che \(b=-\frac{2}{3}a\) e \(c=-2\), da cui \(y=a{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-2\): imponendo il valore \(-\frac{7}{3}\) per l’ordinata del vertice otteniamo \(a=3\), e di conseguenza: \[y=3{{x}^{2}}-2x-2\quad .\] Poiché \(y’(1)=4\), sia l’equazione della tangente in \(P\): \(y=4(x-1)-1=4x-5\), che, intersecata con \(r\), fornisce il punto \(A(2;3)\).

La funzione \(f(x)\) assume in \(x=2\) il valore \(2|m|-5\), che vale \(3\) per il solo valore positivo di \(m\) pari a \(4\). La funzione che si ottiene:   \[f\left( x \right)=\left| \frac{4x}{x-3} \right|-5=\left\{\begin{array}{ll} \frac{-x+15}{x-3}\quad x\le 0\vee x>3 \\ \frac{-9x+15}{x-3}\quad 0<x<3 \end{array} \right.\] ha derivata \[f’\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-12}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\quad x<0\vee x>3  \\ \frac{12}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\quad 0<x<3  \\ \end{array} \right.\] il cui segno, positivo per \(0<x<3\), negativo altrove, dimostra come la funzione \(f(x)\) sia decrescente esternamente all’intervallo \(\left] 0;3 \right[\), crescente al suo interno, non derivabile in \(x=0\) (in \(x=3\) la funzione non è definita). La non monotonia comporta, in questo caso, la non iniettività della funzione nel suo dominio, e quindi la non invertibilità. La restrizione di \(f(x)\) all’intervallo \(\left] 0;3 \right[\), in cui la funzione è monotona crescente, è invece invertibile, poiché realizza una corrispondenza biunivoca tra il dominio \(\left] 0;3 \right[\) e il codominio \(\left] -5;+\infty \right[\); l’espressione analitica della funzione inversa si ottiene nel modo seguente: \[y=\frac{-9x+15}{x-3}\to x\left( y+9 \right)=3y+15\to\]\[\to x=\frac{3y+15}{y+9}\] cioè, scambiando le variabili, e scambiando dominio e codominio:

\[y=\frac{3x+15}{x+9}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho alcuni integrali che non riesco a risolvere (pag.1973, n.271 e n.276, Matematica.blu 2.0, vol.5): \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx\quad \quad \int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

in entrambi i casi possiamo operare la sostituzione \(t=\sqrt{x}\to x={{t}^{2}}\to dx=2tdt\), per cui:           \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx=2\int{\frac{t}{{{t}^{2}}-t}}dt=2\int{\frac{1}{t-1}}dt=2\ln \left| t-1 \right|+c=\ln {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}+c\]\[\int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx=8\int{\frac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\int{dt}-8\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\sqrt{x}-8\arctan \sqrt{x}+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

non riesco a risolvere questi due problemi mi darebbe una mano? (pag.1912, n.310 e n.311,  matematica.blu 2.0, vol.5).

1) Determina \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) in modo che la funzione \(y=ax+b+\frac{c}{x}+\frac{d}{{{x}^{2}}}\) abbia come asintoto la retta di equazione \(2y+x+4=0\), in \(x=-1\) un punto di minimo e nel punto \(x=-2\) un flesso. Rappresenta il suo grafico.

2) Data la funzione \(y=\frac{a{{x}^{2}}-1}{x+2}\):

a) trova \(a\) in modo che la funzione abbia un massimo nel punto di ascissa \(x=1\);

b) rappresenta graficamente la funzione ottenuta;

c) cerca un punto \(P\) nel grafico, con \(-1\le x_P\le4\), in modo che la somma delle sue distanze dagli asintoti sia minima.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso, essendo la funzione asintoticamente equivalente alla funzione \(y=ax+b\) nel limite per \(x\to\infty\), la condizione sull’asintoto porta subito ad avere \(a=-\frac{1}{2}\) e \(b=-2\). Le derivate prima e seconda della funzione sono quindi date da: \[y’=-\frac{1}{2}-\frac{c}{{{x}^{2}}}-\frac{2d}{{{x}^{3}}}\]   \[y”=\frac{2c}{{{x}^{3}}}+\frac{6d}{{{x}^{4}}}\] per cui, per soddisfare le richieste su minimo e flesso, necessariamente si deve avere: \[y’\left( -1 \right)=-\frac{1}{2}-c+2d=0\quad y”\left( -2 \right)=-\frac{c}{4}+\frac{3d}{8}=0\] da cui \(c=\frac{3}{2}\) e \(d=1\).

Nel secondo caso, la condizione di massimo in \(x=1\) implica: \[y’\left( x \right)=\frac{a{{x}^{2}}+4ax+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\to y’\left( 1 \right)=\frac{5a+1}{9}=0\to a=-\frac{1}{5}\] per cui: \[y\left( x \right)=-\frac{{{x}^{2}}+5}{5\left( x+2 \right)}\quad .\] Poiché \(x=-2\) e \(x+5y-2=0\) sono, rispettivamente, l’asintoto verticale e l’asintoto obliquo del grafico della funzione (iperbole), la somma delle distanze di un punto \(P\) di tale grafico dai suoi asintoti è data, in funzione dell’ascissa \(x\) di \(P\) (con \(-1\le x\le 4\)), dalla seguente: \[d\left( x \right)=x+2+\frac{\left| x-\frac{{{x}^{2}}+5}{5\left( x+2 \right)}-2 \right|}{\sqrt{26}}=x+2+\frac{9}{\sqrt{26}\left( x+2 \right)}\] la cui derivata \[d’\left( x \right)=1-\frac{9}{\sqrt{26}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\] si annulla se e solo se \(x=-2\pm \frac{3}{\sqrt[4]{26}}\): il minimo cercato corrisponde perciò al punto \(P\) di ascissa \(x=-2+\frac{3}{\sqrt[4]{26}}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Linda la seguente domanda:

Caro professore,

non so come risolvere questo esercizio, mi potrebbe dare una mano?

Data la funzione \(f(x)=x^2+100x+1\) con \(x\) appartenente agli interi positivi, qual è il massimo valore per \(x\) affinchè \(f(x)\) sia un quadrato perfetto?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Linda,

possiamo ragionare così. Poiché \(f(x)\) è funzione crescente di \(x\in\mathbb{N}\), posto \(f(x)=k^2\), con \(k\) intero positivo, si deve trovare il massimo valore di \(k\) per il quale si abbia \(f(x)=x^2+100x+1=k^2\), cioè per il quale sia: \[x=-50+\sqrt{2499+{{k}^{2}}}\] unica soluzione che possa appartenere ai naturali. Tale valore di \(x\) è intero positivo se e solo se \(2499+k^2\) è a sua volta un quadrato perfetto, cioè se e solo se esiste \(m\in\mathbb{N}\), con \(m>k\), tale che: \[2499+{{k}^{2}}={{m}^{2}}\to 2499={{m}^{2}}-{{k}^{2}}\to 2499=\left( m-k \right)\left( m+k \right)\] cioè \(a=m-k\) e \(b=m+k\), con \(b>a\), devono essere fattori interi di \(2499=3\cdot 7^2\cdot17\). Le sole possibilità sono le seguenti: \[a=1,b=2499\quad a=3,b=833\quad a=7,b=357\quad a=17,b=147\quad a=21,b=119\quad a=49,b=51\]  la prima delle quali è quella che massimizza il valore di \(k\), e di conseguenza il valore di \(x\): \[a=1,b=2499\to m=1250,k=1249\to x=-50+\sqrt{2499+{{1249}^{2}}}=1200.\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Silvia la seguente domanda:

Caro professore,

non ho ben capito come risolvere esercizi di questo tipo:

Si determinino massimi, minimi, concavità ed eventuali punti di flesso della funzione

\[y=x{{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Silvia,

procediamo con un sistematico studio della funzione, osservando innanzitutto che essa è definita, continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), presenta una simmetria rispetto all’origine del riferimento (funzione dispari), è positiva per \(x>0\), nulla per \(x=0\), negativa per \(x<0\). Gli unici limiti che ha senso calcolare sono quelli all’infinito:

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,x{{e}^{-{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}=0\] che implica il fatto che l’asse \(x\) è asintoto orizzontale per il grafico della funzione. Calcoliamo derivata prima e derivata seconda della funzione: \[y’=\left( 1-2{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\quad y’=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\] e osserviamo che, essendo \(y’>0\) per \(-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’=0\) per \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’<0\) altrove, si ha che la funzione presenta un minimo relativo per  \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=\frac{\sqrt{2e}}{2}\), un massimo relativo per \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=-\frac{\sqrt{2e}}{2}\). Riguardo a concavità e flessi, osserviamo che \(y’’>0\) per \(-\sqrt{\frac{3}{2}}<x<0\vee x>\sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’=0\) per \(x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’<0\) per \(x<-\sqrt{\frac{3}{2}}\vee 0<x<\sqrt{\frac{3}{2}}\), per cui, essendo la funzione concava verso l’alto nei tratti in cui la derivata seconda è positiva, concava verso il basso nei tratti a derivata seconda negativa, nei punti in cui la derivata seconda si annulla si hanno dei punti di flesso obliquo, in cui la retta tangente attraversa il grafico.

Massimo Bergamini

Ricevo da Stefano la seguente domanda:

Salve professore,

non riesco a risolvere questo esercizio.

Determinare il più piccolo valore di \(n\) per il quale l’espressione \(\sin(2^n)\), dove \(n\) è un numero naturale e l’angolo è misurato in gradi sessagesimali, assume il valore massimo.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Stefano,

verifichiamo che la successione \[{{a}_{n}}=\sin \left( {{2}^{n}} \right)\quad n\in \mathbb{N}\] a partire da \(n=3\) diventa periodica, con periodo \(N=12\); infatti, posto che \(x\cong y\) significa che \(x\) e \(y\) hanno lo stesso resto se divisi per \(360\), cioè differiscono per multipli interi di \(360\), e quindi \(x\cong y\Rightarrow \sin x=\sin y\), per calcolare \(a_n\) possiamo raddoppiare l’angolo del termine precedente, sottraendo poi gli eventuali multipli interi di \(360\):       \[{{a}_{0}}=\sin \left( 1{}^\circ  \right)\quad {{a}_{1}}=\sin \left( 2{}^\circ  \right)\quad {{a}_{2}}=\sin \left( 4{}^\circ  \right)\quad {{a}_{3}}=\sin \left( 8{}^\circ  \right)\]\[{{a}_{4}}=\sin \left( 16{}^\circ  \right)\quad {{a}_{5}}=\sin \left( 32{}^\circ  \right)\quad {{a}_{6}}=\sin \left( 64{}^\circ  \right)\quad {{a}_{7}}=\sin \left( 128{}^\circ  \right)\]\[{{a}_{8}}=\sin \left( 256{}^\circ  \right)\quad {{a}_{9}}=\sin \left( 152{}^\circ  \right)\quad {{a}_{10}}=\sin \left( 304{}^\circ  \right)\quad {{a}_{11}}=\sin \left( 248{}^\circ  \right)\]\[{{a}_{12}}=\sin \left( 136{}^\circ  \right)\quad {{a}_{13}}=\sin \left( 272{}^\circ  \right)\quad {{a}_{14}}=\sin \left( 184{}^\circ  \right)\quad {{a}_{15}}=\sin \left( 8{}^\circ  \right)={{a}_{3}}\] e arrivati a questo la sequenza si ripete con periodicità \(N=12\), cioè: \({{a}_{n+12}}={{a}_{n}}\ \forall n\ge 3\). Poiché si può verificare che \({{a}_{6}}=\sin \left( 64{}^\circ  \right)\approx 0,8988\) è il massimo valore tra quelli elencati, concludiamo che la risposta al quesito debba essere \(n=6\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Silvia la seguente domanda:

Caro professore, ho impostato questo esercizio ma non riesco a terminarlo.

Data la funzione \[y=\frac{{{x}^{2}}+2px+q}{{{x}^{2}}+1}\]

a) determinare \(p\) e \(q\) in modo che la funzione abbia un punto stazionario in \(x=2\) e il suo grafico passi per il punto \((1,2)\);

b) si studi la funzione ottenuta e se ne tracci il grafico.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Silvia,

posto che la derivata della funzione è la seguente: \[y’=\frac{-2\left( p{{x}^{2}}+\left( q-1 \right)x-p \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\] le due condizioni fornite si traducono nel seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} 2p+q-3=0  \\ 3p+2q-2=0  \\ \end{array} \right.\] che è risolto per \(p=4\) e \(q=-5\). Si tratta quindi di studiare la funzione \[y=\frac{{{x}^{2}}+8x-5}{{{x}^{2}}+1}\] definita, continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), nulla in \(x=-4\pm \sqrt{21}\), positiva esternamente al relativo intervallo. Abbiamo già calcolato la derivata prima:  \[y’=\frac{-4\left( 2{{x}^{2}}-3x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]che si annulla per \(x=2\), in corrispondenza del massimo relativo (e assoluto) \((2,3)\), e per \(x=-\frac{1}{2}\), in corrispondenza al minimo relativo (e assoluto) \((-\frac{1}{2},-7)\). Si possono osservare tre cambiamenti di concavità del grafico della funzione, in corrispondenza a tre punti di flesso, zeri della derivata seconda: \[y”=\frac{4\left( 4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}-12x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\] che, con l’aiuto di strumenti di calcolo approssimato, possono essere individuati nei seguenti: \[x_1\approx -1,1\quad x_2\approx 0,22\quad x_3\approx 3,13\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Mario la seguente domanda:

Salve Professore,

può illustrarmi il procedimento per la risoluzione dei seguenti integrali indefiniti (n.135, pag.1966, n.137, pag.1967, Matematica.blu 2.0)? \[\int{\frac{\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx\quad \quad \int{\frac{\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}}dx\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Mario,

nel primo caso, separiamo l’integrale in due addendi e osserviamo che le funzioni integrande si presentano come derivate di funzioni composte: \[\int{\frac{\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx=\int{\frac{\sin x}{{{\cos }^{4}}x}}dx-\int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx=\int{D\left( \frac{1}{3}{{\cos }^{-3}}x \right)}dx-\int{\frac{{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}}dx=\]\[=\frac{1}{3{{\cos }^{3}}x}-\int{D\left( \frac{{{\tan }^{3}}x}{3} \right)}dx=\frac{1}{3{{\cos }^{3}}x}-\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+c\quad .\]

Nel secondo caso, procediamo in modo analogo: \[\int{\frac{\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{\arctan x}{1+{{x}^{2}}}}dx+\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}}dx=\int{D\left( \frac{{{\arctan }^{2}}x}{2} \right)}dx+\arctan x=\frac{{{\arctan }^{2}}x}{2}+\arctan x+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ely la seguente domanda:

Caro professore,

sono in difficoltà con i seguenti sistemi parametrici (Matematica.blu 2.0, vol.3, pag.405, n.458 e n.464).

\[\left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-4y=0 \\ y-x+2k=0  \\ x>0 \end{array} \right.\quad\quad \left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-6x-4y=0 \\ (k+1)x+8ky-6k+2=0  \\ x>0,\;y\le 4 \end{array} \right.\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Ely,

nel primo caso, con riferimento alla figura, abbiamo le intersezioni tra una semicirconferenza, priva degli estremi, e un fascio improprio di rette di pendenza \(m=1\). Imponendo il passaggio della retta del fascio dai punti \(A(0,4)\) e \(B(0,0)\), (\(k=-2\) e \(k=0\)) e imponendo la condizione di tangenza nel punto \(T\) (\(k=\sqrt{2}-1\)), avendo osservato che al crescere del valore del parametro \(k\) la retta “scorre” verso il basso (per cui il valore di \(k\) corrispondente alla tangente in \(T\) deve essere maggiore di quello corrispondente alla retta per \(B\), dal momento che \(k=\infty\) corrisponde alla retta “all’infinito”), si ha che il sistema ammette una soluzione per \(-2<k\le 0\), due soluzioni per \(0<k\le \sqrt{2}-1\) (coincidenti se \(k=\sqrt{2}-1\)).

Nel secondo caso, l’arco di circonferenza di estremi \(A(0,0)\) e \(B(6,4)\) deve essere intersecato con il fascio proprio di rette di generatrici \(x=-2\) (\(k=0\)) e \(x+8y-6=0\) (\(k=\infty\)), di centro \(C(-2,1)\). Poiché la retta per \(B\) corrisponde a \(k=-\frac{1}{4}\), deduciamo che il fascio “ruota” in senso antiorario intorno a \(C\), e poichè la generatrice \(k=\infty\) attraversa l’arco \(AB\) nel punto \(D(6,0)\), avremo che l’arco \(AD\) incontra rette corrispondenti a valori positivi di \(k\), mentre l’arco \(DB\) incontra rette corrispondenti a valori di \(k\) negativi. Poiché inoltre la retta per \(A\) (\(k=\frac{1}{3}\)), è secante l’arco \(AD\), vi è anche da considerare la condizione di tangenza nel punto \(T\) (\(k=\frac{3}{13}\)): riassumendo, si ha una soluzione per \(k\ge\frac{1}{3}\) e per \(k\le-\frac{1}{4}\)), due soluzioni per \(\frac{3}{13}\le k<\frac{1}{3}\) (coincidenti se \(k=\frac{3}{13}\)).

Massimo Bergamini

Ricevo da Riccardo la seguente domanda:

Buongiorno professore,

mi trovo in difficoltà con il calcolo delle probabilità ed il diagramma.

Si lancia per tre volte una moneta non truccata: rappresenta tramite un diagramma ad albero tutti i possibili esiti.

Calcola le probabilità che:

1) esca \(3\) volte testa;

2) esca almeno \(1\) volta croce;

3) esca croce nel \(1^\circ\) lancio;

4) esca testa per la prima volta nel \(2^\circ\) lancio;

5) esca testa per la prima volta nel \(3^\circ\) lancio.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Riccardo,

ecco il diagramma ad albero del problema:

L’evento \(E_1\) = “esce \(3\) volte testa” si verifica solo “percorrendo” i rami superiori, cioè moltiplicando fra loro le probabilità che vi abbiamo riportato (evento intersezione di tre eventi indipendenti), per cui: \[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\quad .\]

L’evento \(E_2\) = “esce almeno una volta croce” è il complementare dell’evento \({{\bar{E}}_{2}}\) = “non esce mai croce” = \(E_1\), per cui: \[p\left( {{E}_{2}} \right)=1-p\left( {{E}_{1}} \right)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\quad .\]

L’evento \(E_3\) = “esce croce nel primo lancio” (indipendentemente da ciò che avviene dopo) è semplicemente \(p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{1}{2}\).

L’evento \(E_4\) = “esce testa per la prima volta nel \(2^\circ\) lancio” è l’unione degli eventi rappresentati dalle sequenze \(TCT\) e \(TCC\), cioè: \[p\left( {{E}_{4}} \right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\quad .\]

Infine, l’evento \(E_5\) = “esce testa per la prima volta nel \(3^\circ\) lancio” equivale alla sola sequenza \(CCT\), di probabilità \(p\left( {{E}_{5}} \right)=\frac{1}{8}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho difficoltà con questi problemi (pag.1995, n.603 e n.604, Matematica.blu 2.0, vol. V).

1) a) Tra le primitive di \(f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\) individua quella il cui grafico passa per \(A(0;-\ln 2)\).

b) Rappresenta graficamente la funzione trovata.

c) Determina l’equazione della retta tangente alla curva rappresentata nel suo punto di ascissa \(0\).

2) Data la funzione \(y=x\ln x\), con \(x>0\),

a) calcola il suo integrale indefinito;

b) determina la primitiva \(F\) passante per il punto \((2;0)\);

c) dimostra che tutte le primitive hanno il minimo assoluto nel punto di ascissa \(x=1\);

d) determina le primitive aventi il minimo assoluto con ordinata negativa.

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

nel primo caso si ha, posto \(e^x+1=t\):  \[\int{\frac{1}{{{e}^{x}}+1}dx}=\int{\frac{1}{t\left( t-1 \right)}dt}=-\int{\frac{1}{t}dt}+\int{\frac{1}{t-1}dt=\ln \left| t-1 \right|-\ln \left| t \right|+c=x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+c}\] per cui: \[0-\ln \left( 1+1 \right)+c=-\ln 2\to c=0\to F\left( x \right)=x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)\quad .\]

La funzione cresce monotonamente da \(-\infty\) a \(0\), essendo la sua derivata \(f(x)
\) sempre positiva, e inoltre presenta un asintoto obliquo \(y=x\) per \(x\) che tende a \(-\infty\). La retta tangente nel punto di ascissa \(0\) è data da: \[y=f\left( 0 \right)x+F\left( 0 \right)=\frac{1}{2}x-\ln 2\quad .\]

Nel secondo caso, si ha: \[\int{x\ln xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x
-\frac{1}{2}\int{{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{x}dx=}\]\[=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+c\] e in particolare: \[\frac{1}{2}4\ln 2-\frac{1}{4}4+c=0\to c=1-2\ln 2\to\]\[\to F\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+1-2\ln 2\quad .\]

Poiché ogni primitiva ha per derivata \(y=x\ln x\) (per definizione), si ha che tale derivata è negativa per \(0<x<1\), nulla per \(x=1\) e positiva per \(x>1\), per cui in \(x=1\) si verifica un minimo, relativo e assoluto, di ordinata  \(-\frac{1}{4}+c\), pertanto le primitive aventi il minimo assoluto con ordinata negativa sono quelle tali che \(c<\frac{1}{4}\).

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

mi può aiutare a risolvere la seguente disequazione (ultima richiesta dell’es. n.377, pag.901, Matematica.blu 2.0, Vol.4)?             \[\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin \left( x+\frac{3}{8}\pi  \right)\ge 1\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

utilizzando le formule di addizione e di bisezione, si ha: \[\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin \left( x+\frac{3}{8}\pi  \right)=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left( \sin x\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}+\cos x\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \right)=\]\[=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left( \sin x\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+\cos x\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \right)=\frac{\sqrt{\left( 4+2\sqrt{2} \right)\left( 2-\sqrt{2} \right)}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{\left( 4+2\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{2} \right)}}{2}\cos x=\]\[=\sin x+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\cos x=\sin x+\sqrt{{{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}}\cos x=\sin x+\left( 1+\sqrt{2} \right)\cos x\] per cui la disequazione in questione è di tipo lineare: posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), si ha: \[\left\{ \begin{array}{ll} Y+\left( 1+\sqrt{2} \right)X\ge 1 \\ X^2+Y^2=1 \end{array} \right.\] e poiché la retta \(Y=-\left( 1+\sqrt{2} \right)X+1\) interseca la circonferenza goniometrica \(X^2+Y^2=1\) nei punti \((0;1)\) e \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\), corrispondenti agli angoli \(\frac{\pi }{2}\) e \(-\frac{\pi }{4}\), si ha: \[S=\left\{ -\frac{\pi }{4}+2k\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

Caro professore,

come si fa lo studio di questa funzione?

\[y=\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}-3x-10}\quad .\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Elisa,

la funzione, in quanto funzione razionale fratta, è definita, continua e derivabile nel dominio \(\mathbb{R}-\left\{ -2,5 \right\}\), ammette un solo zero in \(x=1\) ed è positiva per \(-2<x<1\) e per \(x>5\). Il suo grafico presenta due asintoti verticali, in corrispondenza ai limiti infiniti per \(x=-2\) e \(x=5\), e un asintoto obliquo \(y=x+3\). Le funzioni derivata prima e seconda sono le seguenti: \[y’=\frac{{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)}^{2}}}\quad y”=\frac{2\left( 19{{x}^{3}}+87{{x}^{2}}+309x-19 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)}^{3}}}\] e per entrambe risulta problematico uno studio degli zeri e del segno, in quanto le equazioni di quarto e terzo grado che si devono risolvere non ammettono soluzioni razionali: utilizzando metodi di calcolo approssimato o software di calcolo elettronico, si ricavano le ascisse approssimate di un punto di massimo relativo in \(x\approx -3,31\) e di un punto di minimo relativo in \(x\approx 9,23\), mentre si può collocare approssimativamente in \(x\approx 0,06\) l’unico zero reale della derivata seconda, corrispondente all’unico punto di flesso del grafico.

Massimo Bergamini

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

Caro professore,

ho delle difficoltà con questi integrali (pag.1991, nn.508, 509, 535, 536, 538, 539, Matematica.blu 2.0, vol.V):

\[\int{{{x}^{2}}\cos xdx}\quad \int{x{{3}^{x}}dx}\quad \int{\left( 2{{\ln }^{2}}x-5\ln x \right)dx}\]\[\int{\left( \ln x-{{\ln }^{2}}x \right)dx}\quad \int{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}dx}\quad \int{\left( 2x+1 \right)\arctan xdx\quad .}\]

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Lucia,

sono tutti integrali che si risolvono per parti:

\[\int{{{x}^{2}}\cos xdx}={{x}^{2}}\sin x-\int{2x\sin xdx}={{x}^{2}}\sin x-2\left( -x\cos x+\int{\cos xdx} \right)=\]

\[={{x}^{2}}\sin x+2x\cos x-2\sin x+c\quad .\]

\[\int{x{{3}^{x}}dx}=\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}\int{{{3}^{x}}dx}=\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}x-\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}+c\quad .\]

\[\int{\left( 2{{\ln }^{2}}x-5\ln x \right)dx}=2x{{\ln }^{2}}x-4\int{\frac{x\ln x}{x}dx}-5\int{\ln xdx}=\]\[=2x{{\ln }^{2}}x-9\int{\ln xdx}=2x{{\ln }^{2}}x-9x\ln x+9x+c\quad .\]

\[\int{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}dx}={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}-2\int{\left( x-1 \right){{e}^{x+1}}dx}={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}-2\left( x-1 \right){{e}^{x+1}}+2\int{{{e}^{x+1}}dx}=\]\[={{e}^{x+1}}\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)+c\quad .\]

\[\int{\left( \ln x-{{\ln }^{2}}x \right)dx}=x\ln x-x-x{{\ln }^{2}}x+2\int{\ln xdx}=\]\[=x\ln x-x-x{{\ln }^{2}}x+2x\ln x-2x=3x\ln x-x{{\ln }^{2}}x-3x+c\quad .\]

\[\int{\left( 2x+1 \right)\arctan xdx}=\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-\int{\frac{{{x}^{2}}+x}{1+{{x}^{2}}}dx=}\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-\int{\frac{1+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}dx-}\int{\frac{x-1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\]\[=\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-x-\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}+\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\arctan x-x-\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

Gentile professore,

nella simulazione a.s. 2012-13, problema 2, il grafico della funzione \(f(x)=4\ln(x+4)+2\) può essere dedotto, anziché applicando una dopo l’altra le tre trasformazioni: traslazione, dilatazione, traslazione, applicando prima la traslazione di vettore \((-4;2)\) e poi la dilatazione di un fattore \(4\) rispetto all’asse \(y\)? O questo comporta un errore?

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Ferdinando,

la seconda procedura comporta un errore, come sospettavi, e puoi verificarlo direttamente, a riprova del fatto che le trasformazioni geometriche seguono un’algebra di tipo generalmente non commutativo:

\(1^\circ\) modo: \[y=\ln x\xrightarrow{{{T}_{1}}}y=\ln \left( x+4 \right),\quad {{T}_{1}}:x’=x-4,y’=y\] \[y=\ln \left( x+4 \right)\xrightarrow{D}y=4\ln \left( x+4 \right),\quad D:x’=x,y’=4y\] \[y=4\ln \left( x+4 \right)\xrightarrow{{{T}_{2}}}y=4\ln \left( x+4 \right)+2,\quad {{T}_{2}}:x’=x,y’=y+2\]

\(2^\circ\) modo: \[y=\ln x\xrightarrow{{{T}_{1}}}y=\ln \left( x+4 \right),\quad {{T}_{1}}:x’=x-4,y’=y\] \[y=\ln \left( x+4 \right)\xrightarrow{{{T}_{2}}}y=\ln \left( x+4 \right)+2,\quad {{T}_{2}}:{x}’=x,{y}’=y+2\] \[y=\ln \left( x+4 \right)+2\xrightarrow{D}y=4\ln \left( x+4 \right)+8,\quad D:x’=x,y’=4y\]

che è evidentemente funzione diversa da quella che si voleva ottenere.

Massimo Bergamini