Un quesito d’esame

Ricevo da Samuele la seguente domanda:
 
Caro professore,
le scrivo per proporre un problema tratto dalla maturità scientifica PNI 1989/90 che non riesco adeguatamente a risolvere, con particolari difficoltà nell’ultimo quesito:
“Data la semicirconferenza di centro \(O\) e raggio \(r\), si consideri il triangolo isoscele \(ABV\) i cui lati obliqui \(AV\) e \(BV\) siano tangenti alla semicirconferenza rispettivamente nei punti \(F\) e \(G\) e tale che la proiezione di \(V\) sulla base \(AB\) coincida con \(O\). Detto \(P\) un punto dell’arco \(FG\) e, rispettivamente, \(L\) e \(M\) le intersezioni della tangente alla semicirconferenza in \(P\) con i lati \(AV\) e \(BV\), si dimostri che i triangoli \(AOL\) e \(BMO\) sono simili. Indicato con \(x\) uno degli angoli alla base del triangolo \(ABV\), si esprima in funzione di esso la somma \(s\) tra il lato del quadrato equivalente al rettangolo di lati \(AL\) e \(BM\) e l’altezza \(VO\) del triangolo \(ABV\), osservando che \(s\) non dipende dalla posizione del punto \(P\).”
Grazie in anticipo per la risposta.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Samuele,
con riferimento alla figura, e in conseguenza della congruenza delle coppie di triangoli rettangoli \(AOF\cong BOG\), \(LOF\cong LOP\), \(POM\cong MOG\), posto \(A\hat{O}F\cong B\hat{O}G=x\), \(L\hat{O}F\cong L\hat{O}P=\alpha \), \(P\hat{O}M\cong M\hat{O}G=\beta \), si può dedurre: \[2\left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\pi -2\left( \alpha +\beta  \right)\Rightarrow x=\alpha +\beta \] per cui \[A\hat{L}O=\frac{\pi }{2}-\alpha =\frac{\pi }{2}-x+\beta =M\hat{O}B\]pertanto, avendo due coppie di angoli tra loro congruenti, i triangoli \(AOL\) e \(BMO\) risultano simili, come dovevasi dimostrare. Inoltre, in base alle fondamentali relazioni trigonometriche tra gli elementi di un triangolo rettangolo, si ha: \[VO=\frac{r}{\cos x}\quad AL=AF+FL=\frac{r}{\tan x}+r\tan \alpha \quad BM=BG+MG=\frac{r}{\tan x}+r\tan \beta \] per cui, detto \(q\) il lato del quadrato equivalente al rettangolo di lati \(AL\) e \(BM\), si ha: \[q=\sqrt{\left( \frac{r}{\tan x}+r\tan \alpha  \right)\left( \frac{r}{\tan x}+r\tan \beta  \right)}=r\sqrt{\frac{1}{{{\tan }^{2}}x}+\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{\tan x}+\tan \alpha \tan \beta }\quad .\] Considerato che \(x=\alpha +\beta \), si ha: \[\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{\tan x}=\frac{\left( \tan \alpha +\tan \beta  \right)\left( 1-\tan \alpha \tan \beta  \right)}{\tan \alpha +\tan \beta }=1-\tan \alpha \tan \beta \]per cui: \[q=r\sqrt{\frac{1}{{{\tan }^{2}}x}+1}=r\frac{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}x}}{\tan x}=\frac{r\cos x}{\cos x\sin x}=\frac{r}{\sin x}\quad .\]In definita, si ottiene: \[s\left( x \right)=q\left( x \right)+VO=\frac{r}{\sin x}+\frac{r}{\cos x}=\frac{r\left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x\cos x}.\]
Massimo Bergamini