Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuti con questo quesito:
Determina l’area del quadrilatero mistilineo limitato dalla parabola \(\gamma_1\) di equazione \(y=-x^2+4x\) e dalla parabola \(\gamma_2\) di equazione \(y=-x^2+14x-40\), dalla tangente a \(\gamma_1\) nell’origine e dalla tangente a \(\gamma_2\) nel vertice.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, possiamo osservare che il quadrilatero in questione corrisponde ad un trapezio rettangolo privato dei sottografici delle due parabole negli intervalli \(\left[ 0;4 \right]\) e \(\left[ 4;7 \right]\) rispettivamente. Poiché le tangenti in questione, \(y=9\) e \(y=4x\), si incontrano nel punto di coordinate \((\frac{9}{4};9)\), si ha:
\[S=\frac{423}{8}-\int\limits_{0}^{4}{\left( -{{x}^{2}}+4x \right)dx}-\int\limits_{4}^{7}{\left( -{{x}^{2}}+14x-40 \right)dx}=\]\[=\frac{423}{8}-\left[ -\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right]_{0}^{4}-\left[ -\frac{1}{3}{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+40x \right]_{0}^{4}=\]\[=\frac{423}{8}-\frac{32}{3}-18=\frac{581}{24}\quad .\]
Massimo Bergamini