Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
potrebbe aiutarmi con questi problemi? (pag.2059, nn. 327, 328, 333, 334, Matematica.blu 2.0)
1) Trova il volume del solido ottenuto ruotando di \(360^\circ\) attorno all’asse \(x\) il trapezoide definito dalla funzione \(y=\frac{x}{2-x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;1 \right]\).
2) Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\frac{1}{\cos x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\).
3) Trova il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\sqrt{\frac{x+4}{x}}\) nell’intervallo \(\left[-5;-4 \right]\).
4) Rappresenta graficamente la funzione \(y=\sqrt{{{e}^{3x}}}\) e determina il volume del solido ottenuto mediante una rotazione completa attorno all’asse \(x\), con \(x\in \left[ 0;1 \right]\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
ciascuno dei volumi richiesti è dato da un integrale definito del tipo \(\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}dx}\): \[\text{1) }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\frac{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}}dt}=\pi \left[ -\frac{4}{t}+t-4\ln t \right]_{1}^{2}=\pi \left( 3-4\ln 2 \right)\quad .\] \[\text{2) }V=\pi \int\limits_{0}^{\pi /4}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\pi \left[ \tan x \right]_{0}^{\pi /4}=\pi \quad .\]\[\text{3) }V=\pi \int\limits_{-5}^{-4}{\frac{x+4}{x}dx}=\pi \left[ x+4\ln \left| x \right|
\right]_{-5}^{-4}=\pi \left( 1-4\ln \frac{5}{4} \right)\quad .\]\[\text{4) }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\pi \left[ \frac{{{e}^{3x}}}{3} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{3}\left( {{e}^{3}}-1 \right)\quad .\]
Massimo Bergamini