Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere il seguente problema:
In una circonferenza di centro \(O\), considera una corda \(AB\) lunga \(6\sqrt{2}a\), e sul suo prolungamento dalla parte di \(B\), un punto \(C\) tale che \(AB/BC=2\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\). Da \(C\) traccia una tangente alla circonferenza: siano \(D\) il punto di tangenza, \(E\) il punto d’intersezione del raggio \(OD\) con la corda \(AB\), \(H\) il piede della perpendicolare da \(O\) ad \(AB\). Sapendo che \(DE\) è \(\sqrt{3}a\), calcola:
a) la lunghezza di \(CD\);
b) l’area del triangolo \(DCE\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
con riferimento alla figura, dalla proporzione assegnata ricaviamo subito che \(BC=3\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)a\) e quindi che \(HC=3\sqrt{3}a\). Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli \(OHC\), \(OHB\) e \(ODC\), abbiamo: \[O{{C}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}},\ O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}},\ C{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}=O{{C}^{2}}\to \]\[\to O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}}+C{{D}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}}\to\] \[C{{D}^{2}}=27{{a}^{2}}-18{{a}^{2}}\to CD=3a\quad .\]
Quindi l’area l’area del triangolo \(DCE\) è \(\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\).
Massimo Bergamini