Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Gentile professore,
oggi la mia professoressa ha dato un esercizio che non so come risolvere, mi potrebbe aiutare?
Dimostra che la funzione \[y=\frac{1-{{e}^{1-x}}}{1+{{e}^{1-x}}}\] è invertibile. Detta \(g(x)\) la funzione inversa calcola \(g’(0)\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
per dimostrare che la funzione è invertibile, cioè biunivoca tra il proprio dominio, \(\mathbb{R}\), e il proprio codominio, possiamo verificare che è monotona, e così è infatti, poiché la sua derivata è sempre positiva per ogni \(x\) reale: \[y’=\frac{{{e}^{1-x}}\left( 1+{{e}^{1-x}} \right)+{{e}^{1-x}}\left( 1-{{e}^{1-x}} \right)}{{{\left( 1+{{e}^{1-x}} \right)}^{2}}}=\]\[=\frac{2{{e}^{1-x}}}{{{\left( 1+{{e}^{1-x}} \right)}^{2}}}\quad .\] Inoltre, poiché \(y=0\leftrightarrow 1-{{e}^{1-x}}=0\leftrightarrow x=1\), possiamo dire che \(g\left( 0 \right)=1\), e quindi: \[g’\left( 0 \right)=\frac{1}{y’\left( g\left( 0 \right) \right)}=\frac{1}{y’\left( 1 \right)}=\frac{1}{2/4}=2\quad .\] In questo caso, lo stesso risultato poteva essere ottenuto anche ricavando esplicitamente l’espressione di \(g(y)\): \[y=\frac{1-{{e}^{1-x}}}{1+{{e}^{1-x}}}\to y\left( 1+{{e}^{1-x}} \right)=1-{{e}^{1-x}}\to {{e}^{1-x}}=\frac{1-y}{1+y}\to x=1-\ln \left( \frac{1-y}{1+y} \right)=g\left( y \right)\] la cui derivata è \[g’\left( y \right)=\frac{2}{1-{{y}^{2}}}\to g’\left( 0 \right)=2\quad .\]
Massimo Bergamini