Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho da risolvere problemi con parametri che non capisco come impostare (pag 1699, nn.703, 704, 707).
1) Data la parabola \(y=kx^2-2kx+1\), determina il parametro \(k\) in modo che la tangente nel suo punto di ascissa \(x=2\) formi un angolo di \(\frac{\pi}{4}\) radianti con l’asse \(x\).
2) Considera la parabola \(y=x^2-(k-1)x+k\). Determina il valore di \(k\) in modo che la tangente nel suo punto di ascissa \(x=-1\) sia parallela alla retta \(x+2y-1=0\).
3) Determina per quale valore del parametro \(k\) la normale (retta perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza) al grafico della funzione \(y=4x^3-kx^2+1\) nel suo punto di ascissa \(x=-1\) forma un angolo di \(150^\circ\) con l’asse delle ascisse.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, la derivata \(y’=2kx-k\) assume per \(x=2\) il valore \(2k\), e tale valore deve corrispondere alla tangente goniometrica dell’angolo \(\frac{\pi}{4}\), cioè deve essere \(2k=1\), da cui \(k=1/2\).
Anche nel secondo caso, data la derivata \(y’=2x-k+1\) e il suo valore per \(x=-1\), cioè \(-k-1\), si deve avere \(-k-1=1\), cioè \(k=-2\), affinchè la tangente abbia la pendenza richiesta.
Nell’ultimo caso, poiché la derivata calcolata in \(x=-1\) vale \(12+2k\), e la pendenza richiesta alla retta perpendicolare alla tangente è la tangente goniometrica dell’angolo di \(150^\circ\), cioè \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\), si deve avere: \[-\frac{1}{12+2k}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to k=\frac{\sqrt{3}-12}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini