Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuta a risolvere questi quesiti?
Dimostra che le seguenti funzioni sono limitate; trovane l’estremo superiore, l’estremo inferiore e, se esistono, il massimo e il minimo assoluti. \[f\left( x \right)={{e}^{-\left| x \right|}}\quad \quad f\left( x \right)=5-2{{e}^{-{{x}^{2}}}}\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Stefania,
si tratta di determinare i codomini delle due funzioni: possiamo farlo, in questo caso, sia direttamente per via algebrica sia per via grafica, utilizzando trasformazioni di funzioni note (vedi figura). Nel primo caso, ci chiediamo quali siano i valori reali di \(k\) per i quali l’equazione \({{e}^{-\left| x \right|}}=k\) ammetta almeno una soluzione, cioè: \[per\ x\ge 0:{{e}^{-x}}=k\to {{e}^{x}}=\frac{1}{k}\to x=-\ln k\leftrightarrow k>0\wedge \ln k\le 0\to 0<k\le 1\] \[per\ x<0:{{e}^{x}}=k\to {{e}^{x}}=\ln k\leftrightarrow k>0\wedge \ln k<0\to 0<k<1\] quindi, essendo il codominio dato dall’insieme \({{C}_{f}}=\left] 0,1 \right]\), si ha \(\inf \left( f \right)=0\), \(\sup \left( f \right)=\max \left( f \right)=1\).
Nel secondo caso l’equazione da risolvere è la seguente: \[5-2{{e}^{-{{x}^{2}}}}=k\to {{e}^{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{5-k}\to x=\pm \sqrt{\ln \left( \frac{2}{5-k} \right)}\leftrightarrow \frac{2}{5-k}\ge 1\to \frac{k-3}{5-k}\ge 0\to 3\le k<5\] quindi, essendo il codominio dato dall’insieme \({{C}_{f}}=\left[ 3,5 \right[\), si ha \(\inf \left( f \right)=\min \left( f \right)=3\), \(\sup \left( f \right)=5\).
Massimo Bergamini