Ricevo da Sara la seguente domanda:
Salve Professore,
le scrivo perchè mi trovo in difficoltà con questi due problemi:
- Determina le tangenti goniometriche degli angoli del triangolo di vertici \(A(-2;-1)\), \(B(-1;3)\), \(C(2;3)\), e detto \(D\) il centro della circonferenza circoscritta trova gli angoli \(A\hat{D}B\) e \(B\hat{D}C\).
- Due rette \(r\) e \(s\) passanti per \(A(4;2)\) formano un angolo \(\alpha\) tale che \(\tan \alpha =\frac{1}{2}\). Sapendo che \(r\) passa per \(B(10;4)\) e che \(s\) interseca l’asse \(y\) in un punto di ordinata negativa, trova l’equazione della retta \(s\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Sara,
nel primo caso, detti \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gli angoli nei vertici \(A\), \(B\) e \(C\), e avendo osservato che \(\beta\) è sicuramente ottuso (il suo coseno è negativo, come si può dimostrare uilizzando il teorema dei coseni), possiamo determinare le tangenti richieste a partire dai coefficienti angolari delle rette contenenti i lati, cioè \({{m}_{AB}}=4\), \({{m}_{AC}}=1\), \({{m}_{BC}}=0\): \[\tan \alpha =\left| \frac{4-1}{1+4} \right|=\frac{3}{5}\quad \tan \beta =-\left| \frac{4-0}{1+0} \right|=-4\quad \tan \gamma =\left| \frac{1-0}{1+0} \right|=1\quad .\] Osserviamo poi che gli angoli \(A\hat{D}B\) e \(B\hat{D}C\) sono gli angoli al centro relativi alle corde \(AB\) e \(BC\) rispettivmente, e quindi, per un noto teorema geometrico, hanno misura doppia di quella degli angoli alla circonferenza che insistono sulle stesse corde, cioè \(A\hat{D}B=2\gamma\) e \(B\hat{D}C=2\alpha\), cioè: \[A\hat{D}B=2\cdot \arctan 1=2\cdot 45{}^\circ =90{}^\circ \quad B\hat{D}C=2\cdot \arctan \frac{3}{5}\approx 61,93{}^\circ \quad .\]
Nel secondo caso, posto che la retta \(r\) ha coefficiente angolare \(1/3\), si tratta di determinare il coefficiente angolare \(m\) della retta \(s\) tale che sia \[\left| \frac{m-\frac{1}{3}}{1+\frac{m}{3}} \right|=\frac{1}{2}\to \left| \frac{3m-1}{3+m} \right|=\frac{1}{2}\to \frac{3m-1}{3+m}=\pm \frac{1}{2}\to m=\frac{5}{4}\vee m=-\frac{1}{7}\]
e poiché si vuole che \(s\) intersechi l’asse \(y\) secondo un’ordinata negativa, il valore di \(m\) da utilizzare è il primo, per cui \(s\) ha equazione \(y=\frac{5}{4}x-3\).
Massimo Bergamini