Una coppia di parabole

Ricevo da Davide la seguente domanda:

Gentilissimo professore,

non riesco a risolvere questo problema:

Una pallina scivola da un tavolo orizzontalmente e cadendo sul pavimento, descrive prima l’arco \(AB\) della parabola \(\gamma\) di vertice \(A\), quindi l’arco \(BA’D\) della parabola \(\gamma\)’ di vertice \(A’\). Sapendo che \(A(0;1)\), \(B(5/4;0)\), \(A'(x;16/25)\) e \(C(x;0)\), \(A’\) e \(C\) hanno la stessa ascissa, e che la parabola \(\gamma\)’ è congruente alla parabola \(\gamma\), in quanto ottenibile da \(\gamma\)  per traslazione:

a) ricava le equazioni di \(\gamma\) e di \(\gamma\)’ nel riferimento \(Oxy\);

b) determina la distanza \(BD\).

Grazie

Gli rispondo così:

Caro Davide,

data una parabola del tipo \(y=a{{x}^{2}}+c\), con vertice in \(A=\left( 0,1 \right)\) e passante per \(B\left( \frac{5}{4},0 \right)\),  si ricava la parabola \[\gamma :y=-\frac{16}{25}{{x}^{2}}+1\quad .\]

Per ricavare \(\gamma\)’ si può pensare che, sovrapponendo \(\gamma\) e \(\gamma\)’ con una traslazione, \(CD=BC\) deve risultare uguale all’ascissa \(x\) di \(gamma\) avente ordinata \[1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\] da cui \(x=1\), e perciò \(C\left( \frac{9}{4},0 \right)\) e \(BD=2\,m\). Avendo \(A’\left( \frac{9}{4},\frac{16}{25} \right)\) come vertice e \(a=-\frac{16}{25}\), la parabola traslata \(\gamma\)’ ha equazione: \[y=-\frac{16}{25}{{x}^{2}}+\frac{72}{25}x-\frac{13}{5}\quad .\]

Massimo Bergamini