Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere questo esercizio sul teorema di Bayes.
In un’azienda tre reparti A, B e C producono rispettivamente il 40%, il 25% e il 35% dell’intera produzione. Nel reparto A, il 7% della produzione presenta anomalie, nel reparto B il 2%. Se la probabilità che un pezzo con anomalie provenga dal reparto C è pari a \(0,3465\), qual è la percentuale di pezzi con anomalie del reparto C?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
poniamo pari a \(x\) la probabilità che un pezzo prodotto dal reparto C presenti anomalie: possiamo allora affermare che la probabilità totale \(p\) di avere un pezzo con anomalie è data dalla somma di tre probabilità, cioè: \[p=0,4\cdot 0,07+0,25\cdot 0,02+0,35\cdot x=0,033+0,35\cdot x\] e quindi la probabilità che un pezzo sia stato prodotto nel reparto C sapendo che presenta anomalie deve essere data, in base al teorema di Bayes, dal rapporto fra il contributo dato a \(p\) dal termine \(0,35\cdot x\) e \(p\) stesso: \[\frac{0,35\cdot x}{0,033+0,35\cdot x}=0,3465\to 0,35\cdot x=0,3465\left( 0,033+0,35\cdot x \right)\to \]\[\to 0,35\cdot x=0,3465\left( 0,033+0,35\cdot x \right)\to 0,228725x=0,0114345\to x=0,05\] cioè la percentuale di pezzi anomali prodotti nel reparto C è del \(5\%\).
Massimo Bergamini