Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
come si risolve questo integrale: \[\int\limits_{\gamma }{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}ds}\] dove \(\gamma\) è l’arco di iperbole di equazione \(x^2-y^2=1\) che va dal punto di coordinate \((1;0)\) al punto di coordinate \((2;\sqrt{3})\)?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
passando a coordinate polari \(r\) e \(\vartheta\), con \(x=r\cos\vartheta\) e \(y=r\sin\vartheta\), si ha che l’arco di iperbole ha equazione \[{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\vartheta -{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=1\to r\left( \vartheta \right)=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\vartheta }}\quad 0\le \vartheta \le \bar{\vartheta }\] essendo \(\bar{\vartheta }=\arctan \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\). Quindi, poichè l’elemento d’arco \(ds\) diventa: \[ds=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( r' \right)}^{2}}}d\vartheta =\sqrt{\frac{1}{\cos 2\vartheta }+{{\left( \frac{\sin 2\vartheta }{\cos 2\vartheta \sqrt{\cos 2\vartheta }} \right)}^{2}}}d\vartheta =\]\[=\sqrt{\frac{1+{{\tan }^{2}}2\vartheta }{\cos 2\vartheta }}d\vartheta =\frac{d\vartheta }{\cos 2\vartheta \sqrt{\cos 2\vartheta }}\] e \(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\), calcolato sull’arco, diventa \(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=r=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\vartheta }}\), si ha: \[\int\limits_{\gamma }{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}ds}=\int\limits_{0}^{{\bar{\vartheta }}}{\frac{1}{\sqrt{\cos 2\vartheta }}}\cdot \frac{1}{\cos 2\vartheta \sqrt{\cos 2\vartheta }}d\vartheta =\]\[=\int\limits_{0}^{{\bar{\vartheta }}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}2\vartheta }}d\vartheta =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\bar{\vartheta }}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }}d\alpha =\frac{1}{2}\left[ \tan \alpha \right]_{0}^{2\bar{\vartheta }}=\frac{1}{2}\tan 2\bar{\vartheta }=\]\[=\frac{1}{2}\frac{2\tan \bar{\vartheta }}{1-{{\tan }^{2}}\bar{\vartheta }}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{3}{4}}=2\sqrt{3}\quad .\]
Massimo Bergamini