Ricevo da Angela la seguente domanda:
Caro professore,
sto aiutando mio fratello a fare il seguente integrale:
\[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{1-{{\cos }^{4}}x}}dx\quad .}\]
Mi aiuti professore, grazie.
Le rispondo così:
Cara Angela,
possiamo procedere per successive sostituzioni di variabile, ponendo dapprima \(\cos x=t\): \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{1-{{\cos }^{4}}x}}dx=}-\int\limits_{1}^{0}{\frac{t}{\sqrt{1-{{t}^{4}}}}dt=}\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1-{{t}^{4}}}}dt}\] quindi, ponendo \(p={{t}^{2}}\):
\[\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1-{{t}^{4}}}}dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1-{{p}^{2}}}}dp}=\frac{1}{2}\left[ \arcsin p \right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}\quad .\]
Massimo Bergamini