Ricevo da Antonio la seguente domanda:
Gentile professore,
vorrei proporle il seguente problema:
Sia dato \(b\) appartenente all’intervallo \(\left[ 0,\pi \right]\) e sia definita la successione
\[\left\{ \begin{array}{ll} a_0=b \\ a_{n+1}=a_n+\sin(a_n) \end{array} \right.\]
per \(n\ge 0\). Stabilire se la successione \(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\) ammette limite e, in caso affermativo, calcolarlo.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Antonio,
possiamo trattare questa successione definita in modo ricorsivo come la successione dei valori ottenuti per “contrazione” della funzione \(f\left( x \right)=x+\sin x\), a partire dal valore iniziale \(x=b\), cioè come la successione seguente: \[\left\{ \begin{array}{ll} a_0=b \\ a_{n+1}=f(a_n) \end{array} \right.\]
La funzione \(f(x)\), definita, continua e derivabile in \(\left[ 0,\pi \right]\), è nulla per \(x=0\), positiva per \(x\in \left] 0,\pi \right]\) e monotona crescente, in quanto a derivata positiva (\(f’\left( x \right)=1+\cos x\)) in \(\left[ 0,\pi \right[\): quindi il massimo valore che \(f(x)\) assume 
nell’intervallo \(\left[ 0,\pi \right]\) è \(f(\pi)=\pi\), per cui gli “output” di \(f(x)\) sono sempre degli “input” per la \(f(x)\) stessa che ricadono nello stesso intervallo \(\left[ 0,\pi \right]\). Il possibile valore limite a cui può tendere la successione deve essere ricercato tra gli eventuali punti fissi della funzione \(f(x)\), cioè le soluzioni dell’equazione \(f\left( x \right)=x\): nell’intervallo \(\left[ 0,\pi \right]\) si hanno le soluzioni \(x=0\) e \(x=\pi\):
se \(x_0=b=0\) o \(x_0=b=\pi\), la successione è costante e il limite coincide con \(x_0\); tuttavia, perché possa rappresentare l’eventuale limite \(l\) quando sia \(b\in \left] 0,\pi \right[\), il punto fisso \(x=l\) deve soddisfare la condizione di “stabilità asintotica”, cioè deve essere tale che \[\left| f'\left( l \right) \right|<1\] e poiché:\[f'\left( 0 \right)=2>1\quad \quad \quad f'\left( \pi \right)=0<1\] si deduce che \(x=\pi\) è il punto fisso asintoticamente stabile, e quindi: \[{{a}_{0}}=b=0\to \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0,\quad {{a}_{0}}=b\in \left] 0,\pi \right]\to \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\pi \quad .\]
Massimo Bergamini