Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come viene risolto questo quesito?
È la notte di Natale e Babbo Natale sta entrando nella casa di Andrea, David e Giacomo, ma appena sceso dal camino vede tre alberi di natale, uno per ogni bambino. Sapendo che Babbo Natale ha in tutto \(10\) regali e che ogni bambino ha almeno \(2\) regali, quanti modi ha di distribuire i regali? (I regali hanno tutti la stessa carta quindi possono essere considerati tutti uguali e quindi nella distribuzione tra gli alberi varia solo il numero di regali).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
possiamo vedere il problema in questo modo: dati tre “posti” (gli alberi distinti), in quanti modi possiamo distribuirvi tre numeri, ciascuno compreso tra \(2\) e \(6\) (ogni bambino non può avere meno di \(2\) regali e quindi non più di \(6\), essendo fissato a \(10\) il totale), e la cui somma sia \(10\)? Si può facilmente verificare che le sole possibili terne di addendi sono le seguenti: \(2+3+5\), \(2+2+6\), \(2+4+4\), \(3+3+4\); poiché la \(1^\circ\) può essere riordinata in \(3!=6\) modi, mentre le altre tre solo in \(3\) modi ciascuna, il totale delle possibili distribuzioni di regali è \(6+3+3+3=15\). In altro modo, avremmo potuto ragionare così: scelti due alberi, ad esempio quelli di Andrea e David, in quanti modi possiamo distribuire tra di loro i regali? (non vi sono altri modi, poiché per ognuno di questi, il numero di regali che rimangono per Giacomo è univocamente determinato). Possiamo esaminare le possibili assegnazioni di regali ad Andrea, e per ciascuna di queste contare le possibili assegnazioni a David: indichiamole come coppie ordinate di numeri (“regali di Andrea”, “regali di David”), e contiamole:
\[\left( 2,2 \right),\left( 2,3 \right),\left( 2,4 \right),\left( 2,5 \right),\left( 2,6 \right),\]
\[\left( 3,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 3,4 \right),\left( 3,5 \right),\]
\[\left( 4,2 \right),\left( 4,3 \right),\left( 4,4 \right),\]
\[\left( 5,2 \right),\left( 5,3 \right),\]
\[\left( 6,2 \right)\ .\]
Massimo Bergamini