Ricevo da Stefano la seguente domanda:
Per favore, può aiutarmi a dimostrare questo problema con le proprietà relative alla circonferenza?
Sia \(\gamma\) una circonferenza di centro \(O\) e diametro \(AB=2r\). Prolunga il diametro \(AB\) di un segmento \(BE=r\) dalla parte di \(B\) e dal punto \(E\) conduci una tangente alla circonferenza. Detto \(F\) il punto di contatto di questa tangente con la circonferenza, unisci \(F\) con \(A\) e con \(O\). Dimostra che i triangoli \(AFB\) e \(OFE\) sono congruenti.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Stefano,
con riferimento alla figura, osserviamo innanzitutto che i triangoli \(AFB\) e \(OFE\) sono 
entrambi rettangoli di ipotenuse \(AB\) e \(OE\) congruenti: \(AFB\) in quanto inscritto in una semicirconferenza, \(OFE\) in quanto il segmento di tangente \(EF\) è perpendicolare al raggio \(OF\) nel punto di tangenza \(F\). In quanto rettangolo, il triangolo \(OFE\) risulta inscritto nella semicirconferenza di diametro \(OE=2r\) e centro \(B\), e di conseguenza la mediana \(BF\) è un raggio di tale semicirconferenza, e quindi \(BF\cong OF\), essendo \(OF\) a sua volta mediana rispetto \(AB\) del triangolo rettangolo \(ABF\): i due triangoli, avendo tra loro congruenti ipotenusa e un cateto, risultano congruenti, come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini